Zadanie 3 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2025, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2$ jest równa

3

9

lo g_{3} 104

2 lo g_{3} 54

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

A — 3

Typowy błąd / pułapka

Najczęstszy błąd to liczenie $lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2$ jako $lo g_{3} (108 - 2 \cdot 2) = lo g_{3} 104$ (odpowiedź C). To NIE jest poprawne — odejmowanie logarytmów daje iloraz, nie różnicę argumentów. A pomnożenie logarytmu przez $2$ daje kwadrat argumentu, nie podwojenie.

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 3 - strona 5 arkusza CKE — Strona 5 arkusza CKE z trescia zadania 3. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 5

Strategia

Dwa wzory na logarytmy:

$lo g_{a} (b^{n}) = n \cdot lo g_{a} b$ — logarytm potęgi
$lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c}$ — logarytm ilorazu

Cel: sprowadzić $lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2$ do postaci $lo g_{3} co \overset{s}{ˊ}$ .

Zamień $2 lo g_{3} 2$ na $lo g_{3} (2^{2}) = lo g_{3} 4$ (wzór na logarytm potęgi, w drugą stronę).

$lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2 = lo g_{3} 108 - lo g_{3} 4$

Zastosuj wzór na logarytm ilorazu:

$lo g_{3} 108 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{108}{4} = lo g_{3} 27$

Oblicz $lo g_{3} 27$ . Pytanie: do której potęgi trzeba podnieść $3$ , żeby dostać $27$ ? Skoro $27 = 3^{3}$ , to:

$lo g_{3} 27 = 3$

Klucz — trzy wzory logarytmiczne

Reguła	Wzór
Logarytm iloczynu	$lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$
Logarytm ilorazu	$lo g_{a} \frac{b}{c} = lo g_{a} b - lo g_{a} c$
Logarytm potęgi	$lo g_{a} (b^{n}) = n \cdot lo g_{a} b$

Te trzy wzory rozwiązują 95% zadań logarytmicznych na maturze podstawowej. Wszystkie są w „Wybranych wzorach matematycznych” CKE.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „logarytmy, prawa działań" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl