Zadanie 1

Treść zadania

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$N (t) = N_{0} \cdot k^{t} dla t \geq 0$

gdzie:

$N_{0}$ — liczebność populacji w chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji,
$k$ — stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
$t$ — czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t = 0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10000$ , a po dwóch godzinach była równa $15625$ .

Zadanie 1. (0–2)

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAR-R0-100-2505. Otwórz oryginalny PDF

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 1 - strona 4 arkusza CKE — Strona 4 arkusza CKE z trescia zadania 1. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 4

Strategia

W modelu $N (t) = N_{0} \cdot k^{t}$ stała $k$ to mnożnik godzinny — każda godzina mnoży liczebność przez $k$ . Wzrost procentowy to $(k - 1) \cdot 100%$ .

Z warunku po dwóch godzinach wyznaczymy $k^{2}$ , potem $k$ (przez pierwiastek).

Zapisz warunek $N (2) = 15625$ :

$10000 \cdot k^{2} = 15625$

$k^{2} = \frac{15 625}{10 000} = \frac{15625}{10000} = 1, 5625$

Oblicz $k$ . Skoro $k$ jest dodatnia (z założeń modelu):

$k = 1, 5625 = 1, 25$

(bo $1, 2 5^{2} = 1, 5625$ ).

Przelicz na wzrost procentowy.

$k - 1 = 1, 25 - 1 = 0, 25 = 25%$

Sprawdzenie

Start: $10000$ .

Po 1 h: $10000 \cdot 1, 25 = 12500$
Po 2 h: $12500 \cdot 1, 25 = 15625$ ✓

Idealne dopasowanie.

Punktacja CKE

1 pkt — obliczenie $k^{2} = 1, 5625$ ALBO $k = 1, 25$ .
2 pkt — pełna metoda + wynik $25%$ .

Klucz — modele wykładnicze na rozszerzonej

W zadaniach typu „wzrost wykładniczy ze stałym mnożnikiem”:

Zapisz model: $N (t) = N_{0} \cdot k^{t}$ .
Wyznacz $k^{T}$ z warunku w czasie $T$ (zwykle 2, 5, 10 godzin).
Pierwiastek $T$ -ego stopnia daje $k$ — mnożnik za jednostkę czasu.
Procent wzrostu to $(k - 1) \cdot 100%$ .

Czas trwania, w jakim podany jest warunek, ma znaczenie. Pisz wszystkie podstawienia explicite, żeby nie zgubić indeksu.