Zadanie 2

Rozwiązanie

Dowód: nierówność jest równoważna nierówności $(a - 2 b)^{2} (a + 2 b) > 0$ . Dla $a > 0$ i $b > 0$ mamy $a + 2 b > 0$ , a z warunku $b \neq = \frac{1}{2} a$ wynika $(a - 2 b)^{2} > 0$ , więc iloczyn jest dodatni.

Typowy błąd / pułapka

Błąd: wykazanie tylko nieostrej nierówności $\geq$ zamiast $>$ , czyli pominięcie tego, że warunek $b \neq = a /2$ daje $(a - 2 b)^{2} > 0$ . Drugi błąd: zły rozkład $(a + 2 b)^{3} = a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}$ . Sprawdzanie nierówności tylko dla wybranych $a$ i $b$ daje 0 punktów (zasady oceniania CKE).

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 2 - strona 5 arkusza CKE — Strona 5 arkusza CKE z trescia zadania 2. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 5

Strategia

Przenieś wszystko na jedną stronę i pokaż, że różnica jest dodatnia dla każdego dopuszczalnego $a, b$ . Cel: rozłożyć tę różnicę na iloczyn czynników o znanych znakach.

Rozwiń $(a + 2 b)^{3}$ z wzoru $(x + y)^{3} = x^{3} + 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + y^{3}$ dla $x = a$ , $y = 2 b$ :

$(a + 2 b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} (2 b) + 3 a (2 b)^{2} + (2 b)^{3}$

$= a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}$

Odejmij prawą stronę nierówności od lewej. Tworzę różnicę $L - R$ , którą trzeba wykazać $> 0$ :

$L - R = (a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}) - (8 a^{2} b + 16 a b^{2})$

$L - R = a^{3} + 6 a^{2} b - 8 a^{2} b + 12 a b^{2} - 16 a b^{2} + 8 b^{3}$

$L - R = a^{3} - 2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 b^{3}$

Rozłóż na czynniki grupowaniem. Wyciągnij wspólne czynniki z par:

$a^{3} - 2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 b^{3} = a^{2} (a - 2 b) - 4 b^{2} (a - 2 b)$

W obu nawiasach pojawia się ten sam dwumian $(a - 2 b)$ . Wyciągnij go:

$= (a - 2 b) (a^{2} - 4 b^{2})$

Drugi czynnik to różnica kwadratów — rozłóż dalej:

$a^{2} - 4 b^{2} = (a - 2 b) (a + 2 b)$

Stąd:

$L - R = (a - 2 b) \cdot (a - 2 b) \cdot (a + 2 b) = (a - 2 b)^{2} \cdot (a + 2 b)$

Zbadaj znak każdego czynnika.

$(a - 2 b)^{2}$ : kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze $\geq 0$ , z równością tylko gdy $a = 2 b$ , czyli $b = \frac{a}{2}$ . Z założenia $b \neq = \frac{a}{2}$ , więc $(a - 2 b)^{2} > 0$ .
$(a + 2 b)$ : skoro $a > 0$ i $b > 0$ , to $a + 2 b > 0$ .

Iloczyn dwóch wielkości dodatnich jest dodatni:

$L - R = (a - 2 b)^{2} \cdot (a + 2 b) > 0$

Wniosek. $L > R$ , czyli:

$(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2} ■$

Punktacja CKE

1 pkt — zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci $a^{2} (a - 2 b) - 4 b^{2} (a - 2 b) > 0$ (albo innej z wymienionych w zasadach, np. $(a + 2 b)^{2} > 8 ab$ ).
2 pkt — przekształcenie nierówności do postaci $(a - 2 b)^{2} (a + 2 b) > 0$ (albo $(a - 2 b)^{2} > 0$ ).
3 pkt — dodatkowo zapisanie, że $a + 2 b > 0$ , i uzasadnienie, że dla $b \neq = \frac{a}{2}$ zachodzi $(a - 2 b)^{2} > 0$ .

Klucz — schemat dowodów nierówności

Procedura uniwersalna:

Przenieś wszystko na jedną stronę — różnica $L - R$ .
Rozłóż na iloczyn czynników, których znaki łatwo określić (typowo: kwadraty, sumy z dodatnimi liczbami, dwumiany ze znanym znakiem).
Określ znak każdego czynnika używając założeń.
Wnioskuj — iloczyn niezerowych dodatnich liczb jest dodatni.

W tym zadaniu kluczowy moment to dostrzeżenie wzorca grupowania $a^{2} (a - 2 b) - 4 b^{2} (a - 2 b)$ . To wymaga wprawy — warto poćwiczyć na podobnych zadaniach.

Treść zadania

Zadanie 2. (0–3)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Strategia

Punktacja CKE

Klucz — schemat dowodów nierówności

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji