Zadanie 5

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Strategia — rozważ przypadki według znaków modułów

Moduły $|x-2|$ i $|x+3|$ zmieniają znak w punktach $x=2$ i $x=-3$. Te dwa punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały:

1. $x<-3$
2. $-3\le x<2$
3. $x\ge 2$

W każdym przedziale moduły rozwijają się jednoznacznie (z odpowiednim znakiem). Rozwiązujemy nierówność osobno w każdym przedziale i łączymy wyniki.

Przypadek 1: $x<-3$

W tym przedziale $x-2<0$ i $x+3<0$, więc:

• $|x-2|=-(x-2)=2-x$
• $|x+3|=-(x+3)=-x-3$

Podstaw do nierówności:

$(2-x)-2\cdot (-x-3)<-2$

$2-x+2x+6<-2$

$x+8<-2\Rightarrow x<-10$

Łącząc z warunkiem przypadku ($x<-3$): rozwiązanie tutaj to $x<-10$ (bo $-10<-3$, więc $x<-10$ jest mocniejszym warunkiem).

Wynik przypadku 1: $x\in (-\infty ,-10)$.

Przypadek 2: $-3\le x<2$

W tym przedziale $x-2<0$ ale $x+3\ge 0$, więc:

• $|x-2|=2-x$
• $|x+3|=x+3$

Podstaw:

$(2-x)-2(x+3)<-2$

$2-x-2x-6<-2$

$-3x-4<-2\Rightarrow -3x<2\Rightarrow x>-\frac{2}{3}$

(uwaga: dzielenie przez $-3$ odwraca nierówność).

Łącząc z warunkiem przypadku ($-3\le x<2$): rozwiązanie to przecięcie $x>-\frac{2}{3}$ z $⟨-3,2)$:

Wynik przypadku 2: $x\in \left(-\frac{2}{3},2\right)$.

Przypadek 3: $x\ge 2$

W tym przedziale oba moduły rozwijają się „bez minusa”:

• $|x-2|=x-2$
• $|x+3|=x+3$

Podstaw:

$(x-2)-2(x+3)<-2$

$x-2-2x-6<-2$

$-x-8<-2\Rightarrow -x<6\Rightarrow x>-6$

To zawsze prawda dla $x\ge 2$ (bo $2>-6$).

Wynik przypadku 3: $x\in ⟨2,+\infty )$.

Łączenie wyników

Suma rozwiązań ze wszystkich trzech przypadków:

$(-\infty ,-10)\cup \left(-\frac{2}{3},2\right)\cup ⟨2,+\infty )$

Drugi i trzeci przedział sklejają się w $\left(-\frac{2}{3},+\infty \right)$ (bo $2$ należy do trzeciego przedziału).

$x\in (-\infty ,-10)\cup \left(-\frac{2}{3},+\infty \right)$

Sprawdzenie liczbowe

Sprawdźmy „punkty kontrolne” z różnych części rozwiązania:

• $x=-11$ (z pierwszego przedziału): $|-11-2|-2|-11+3|=13-16=-3<-2$ ✓
• $x=-5$ (poza rozwiązaniem): $|-5-2|-2|-5+3|=7-4=3$, NIE $<-2$ ✓ (nie należy)
• $x=0$ (z drugiego rozwiązania): $|0-2|-2|0+3|=2-6=-4<-2$ ✓
• $x=-1$ (poza, $-1<-\frac{2}{3}$): $|-3|-2|2|=3-4=-1$, NIE $<-2$ ✓ (nie należy)

Granice sprawdzone — rozwiązanie pasuje.

Punktacja CKE

• 1 pkt — wyznaczenie przedziałów dla rozwiązania (lub zapisanie nierówności w jednym z przypadków).
• 2 pkt — rozwiązanie nierówności w jednym z trzech przypadków.
• 3 pkt — rozwiązanie w dwóch z trzech przypadków.
• 4 pkt — pełne rozwiązanie + złączony zbiór $(-\infty ,-10)\cup (-\frac{2}{3},+\infty )$.

Klucz uniwersalny

Procedura dla nierówności z wartościami bezwzględnymi:

1. Wyznacz punkty zerowania każdego modułu — to granice przedziałów.
2. Rozwiąż w każdym przedziale osobno — w każdym moduły rozwijają się jednoznacznie.
3. Połącz wyniki — suma zbiorów rozwiązań z każdego przedziału.

Liczba przedziałów = liczba modułów + 1.