Zadanie 6

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 6 - strona 12 arkusza CKE — Strona 12 arkusza CKE z trescia zadania 6. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 12

Klucz teoretyczny

Szereg geometryczny zbieżny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $∣ q ∣ < 1$ . Suma:

$S = \frac{a _{1}}{1 - q}$

Dla $∣ q ∣ \geq 1$ (i $a_{1} \neq = 0$ ) szereg jest rozbieżny — nie ma sumy.

W ciągu geometrycznym: $a_{3} = a_{1} \cdot q^{2}$ .

Wyraź warunki przez $a_{1}$ i $q$ .

Z $a_{3} = a_{1} q^{2}$ :

$a_{1} + a_{1} q^{2} = 20 \Rightarrow a_{1} (1 + q^{2}) = 20$

$a_{1}^{2} + a_{1}^{2} q^{4} = 328 \Rightarrow a_{1}^{2} (1 + q^{4}) = 328$

Wyeliminuj $a_{1}$ . Z pierwszego: $a_{1} = \frac{20}{1 + q ^{2}}$ . Podstaw do drugiego:

$(\frac{20}{1 + q ^{2}})^{2} \cdot (1 + q^{4}) = 328$

$\frac{400 ( 1 + q ^{4} )}{( 1 + q ^{2} ) ^{2}} = 328$

$\frac{1 + q ^{4}}{( 1 + q ^{2} ) ^{2}} = \frac{328}{400} = \frac{41}{50}$

Wprowadź podstawienie $t = q^{2}$ (gdzie $t \geq 0$ ):

$\frac{1 + t ^{2}}{( 1 + t ) ^{2}} = \frac{41}{50}$

$50 (1 + t^{2}) = 41 (1 + t)^{2}$

$50 + 50 t^{2} = 41 + 82 t + 41 t^{2}$

$9 t^{2} - 82 t + 9 = 0$

Rozwiąż równanie kwadratowe.

$Δ = 8 2^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400, Δ = 80$

$t = \frac{82 \pm 80}{18}$

$t_{1} = \frac{162}{18} = 9, t_{2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Wybierz $t$ spełniające warunek zbieżności $∣ q ∣ < 1$ , czyli $t = q^{2} < 1$ :

$t = 9$ → $q^{2} = 9$ , $∣ q ∣ = 3$ — rozbieżny, odrzucamy.
$t = \frac{1}{9}$ → $q^{2} = \frac{1}{9}$ , $∣ q ∣ = \frac{1}{3}$ — zbieżny ✓

Czyli $q = \frac{1}{3}$ albo $q = - \frac{1}{3}$ .

Wyznacz $a_{1}$ dla obu przypadków. Dla $q^{2} = \frac{1}{9}$ :

$a_{1} = \frac{20}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{20}{\frac{10}{9}} = \frac{20 \cdot 9}{10} = 18$

Dla obu znaków $q$ to samo $a_{1} = 18$ (bo zależy od $q^{2}$ ).

Oblicz sumę dla każdego przypadku.

Przypadek 1: $q = \frac{1}{3}$

$S_{1} = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 27$

Przypadek 2: $q = - \frac{1}{3}$

$S_{2} = \frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{18}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}$

Sprawdzenie

Dla $q = \frac{1}{3}$ : $a_{1} = 18$ , $a_{2} = 6$ , $a_{3} = 2$ . Suma $a_{1} + a_{3} = 20$ ✓, $a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 324 + 4 = 328$ ✓.

Dla $q = - \frac{1}{3}$ : $a_{1} = 18$ , $a_{2} = - 6$ , $a_{3} = 2$ . Suma $a_{1} + a_{3} = 20$ ✓, $a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 324 + 4 = 328$ ✓.

Oba przypadki spełniają warunki — oba muszą być w odpowiedzi.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie równania z jedną niewiadomą ( $a_{1}$ , $a_{3}$ albo $q$ ), np. $\frac{400}{( q ^{2} + 1 ) ^{2}} \cdot (1 + q^{4}) = 328$ .
2 pkt — obliczenie $q^{2} = 9$ oraz $q^{2} = \frac{1}{9}$ (albo obu wartości $a_{1}$ : $2$ i $18$ ).
3 pkt — obliczenie par $(a_{1}, q)$ ALBO jednej pary dającej szereg zbieżny wraz z jego sumą.
4 pkt — poprawny wynik: $S = 27$ lub $S = \frac{27}{2}$ .

Klucz uniwersalny

Schemat dla zadań „szereg geometryczny zbieżny + dwa warunki”:

Wyraź wszystkie wyrazy przez $a_{1}$ i $q$ (zwykle $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ ).
Wyeliminuj $a_{1}$ dzieląc/podstawiając, dostajesz równanie tylko z $q$ (zwykle kwadratowe po podstawieniu $t = q^{2}$ ).
Rozwiąż na $q$ , odrzuć te, dla których $∣ q ∣ \geq 1$ .
Rozważ obie wartości $\pm q$ jeśli dotyczy.
Suma $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ — osobno dla każdego $q$ .

Treść zadania

Zadanie 6. (0–4)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Klucz teoretyczny

Sprawdzenie

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji