Zadanie 7

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 7 - strona 14 arkusza CKE — Strona 14 arkusza CKE z trescia zadania 7. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 14

Klucz teoretyczny — linia środkowa trapezu

Twierdzenie: w trapezie $A BC D$ o podstawach $A B$ i $C D$ odcinek łączący środki ramion $A D$ i $BC$ jest:

równoległy do podstaw $A B$ i $C D$
ma długość średniej arytmetycznej podstaw

$∣ EF ∣ = \frac{∣ A B ∣ + ∣ C D ∣}{2}$

Linia $EF$ dzieli trapez na dwa mniejsze trapezy — $A BFE$ i $EFC D$ — które oba mają tę samą wysokość (równą połowie wysokości całego trapezu).

Oznaczenia

Niech:

$∣ A B ∣ = a$ (większa podstawa)
$∣ C D ∣ = b$ (mniejsza podstawa, $b < a$ )
$h$ — wysokość trapezu $A BC D$

Z linii środkowej: $∣ EF ∣ = \frac{a + b}{2}$ .

Każdy z mniejszych trapezów ( $EFC D$ i $A BFE$ ) ma wysokość $\frac{h}{2}$ .

Pola obu mniejszych trapezów

Pole trapezu $EFC D$ (podstawy $C D$ i $EF$ , wysokość $\frac{h}{2}$ ):

$P_{EFC D} = \frac{∣ C D ∣ + ∣ EF ∣}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{b + \frac{a + b}{2}}{2} \cdot \frac{h}{2}$

Uprość licznik średniej:

$b + \frac{a + b}{2} = \frac{2 b + a + b}{2} = \frac{a + 3 b}{2}$

Stąd:

$P_{EFC D} = \frac{( a + 3 b ) /2}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{( a + 3 b ) h}{8}$

Pole trapezu $A BFE$ (podstawy $A B$ i $EF$ , wysokość $\frac{h}{2}$ ):

$P_{A BFE} = \frac{∣ A B ∣ + ∣ EF ∣}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{a + \frac{a + b}{2}}{2} \cdot \frac{h}{2}$

Uprość:

$a + \frac{a + b}{2} = \frac{2 a + a + b}{2} = \frac{3 a + b}{2}$

$P_{A BFE} = \frac{( 3 a + b ) h}{8}$

Zapisz stosunek pól (czynniki $\frac{h}{8}$ skracają się):

$\frac{P _{EFC D}}{P _{A BFE}} = \frac{a + 3 b}{3 a + b}$

Z warunku zadania $\frac{P _{EFC D}}{P _{A BFE}} = \frac{1}{2}$ :

$\frac{a + 3 b}{3 a + b} = \frac{1}{2}$

$2 (a + 3 b) = 3 a + b$

$2 a + 6 b = 3 a + b$

$5 b = a$

Wyciągnij wniosek:

$\frac{b}{a} = \frac{1}{5}, czyli \frac{∣ C D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{1}{5} ■$

Sprawdzenie liczbowe

Jeśli $a = 5$ i $b = 1$ , to:

$∣ EF ∣ = \frac{5 + 1}{2} = 3$
$P_{EFC D} = \frac{( 5 + 3 ) \cdot h}{8} = h$ (przy $h = 1$ to 1)
$P_{A BFE} = \frac{( 15 + 1 ) \cdot h}{8} = 2 h$ (przy $h = 1$ to 2)
Stosunek: $\frac{h}{2 h} = \frac{1}{2}$ ✓

Wzór się sprawdza.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie $∣ EF ∣ = \frac{∣ A B ∣ + ∣ C D ∣}{2}$ ALBO zapisanie stosunku pól trapezów z wysokościami $\frac{h}{2}$ .
2 pkt — zapisanie stosunku pól trapezów $EFC D$ i $A BFE$ (z wysokościami $\frac{h}{2}$ ), warunku, że jest on równy $\frac{1}{2}$ , oraz $∣ EF ∣ = \frac{∣ A B ∣ + ∣ C D ∣}{2}$ .
3 pkt — zapisanie związku między długościami podstaw trapezu (np. $\frac{a + 3 b}{3 a + b} = \frac{1}{2}$ ).
4 pkt — pełne rozumowanie i wniosek $b / a = 1/5$ .

Uwaga z zasad: kto błędnie założy, że trapezy $A BFE$ i $EFC D$ są podobne, może dostać najwyżej 1 pkt.

Klucz pamięciowy

Element	Wzór
Pole trapezu	$P = \frac{a + b}{2} \cdot h$
Linia środkowa	$\frac{a + b}{2}$ (równa średniej podstaw)
Odcinek równoległy do podstaw w 1/3 wysokości (licząc od podstawy $a$ )	$\frac{2 a + b}{3}$

Pamiętaj: nazwa „linia środkowa” odnosi się do tej konkretnej linii w połowie wysokości. Inne linie równoległe do podstaw mają inne wzory.

Treść zadania

Zadanie 7. (0–4)

Rozwiązanie