Zadanie 3

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 3 - strona 6 arkusza CKE — Strona 6 arkusza CKE z trescia zadania 3. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 6

Strategia

Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty $60°$ . Niech $∠ D A C = α$ . Wtedy $∠ B A D = 60° - α$ (bo cały $∠ B A C = 60°$ ).

Trójkąty $A B D$ i $A D C$ mają wspólny bok $A D$ (długość niech będzie $d$ ) i wspólny wierzchołek $A$ . Możemy więc wyrazić ich pola przez sinusy odpowiednich kątów przy $A$ .

Wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi: $P = \frac{1}{2} \cdot b_{1} \cdot b_{2} \cdot sin γ$ .

Dla trójkąta $A B D$ : boki $A B = a$ (bok trójkąta równobocznego) i $A D = d$ , kąt $∠ B A D = 60° - α$ .

$P_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d \cdot sin (60° - α)$

Dla trójkąta $A D C$ : boki $A C = a$ i $A D = d$ , kąt $∠ D A C = α$ .

$P_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d \cdot sin α$

Stosunek pól = stosunek sinusów (czynniki $\frac{1}{2} \cdot a \cdot d$ skracają się):

$\frac{P _{A B D}}{P _{A D C}} = \frac{s i n ( 60° - α )}{s i n α} = \frac{3 - 1}{2}$

Rozwiń $sin (60° - α)$ ze wzoru na sinus różnicy: $sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y$ .

$sin (60° - α) = sin 60° cos α - cos 60° sin α = \frac{3}{2} cos α - \frac{1}{2} sin α$

Podstaw do równania:

$\frac{\frac{3}{2} c o s α - \frac{1}{2} s i n α}{s i n α} = \frac{3 - 1}{2}$

Pomnóż licznik i mianownik lewej strony przez 2 — równanie pozostaje równoważne:

$\frac{3 c o s α - s i n α}{s i n α} = 3 - 1$

Rozdziel ułamek:

$\frac{3 c o s α}{s i n α} - 1 = 3 - 1$

$3 \cdot cot α = 3$

$cot α = 1$

Wyznacz $α$ . $cot α = 1$ oznacza $tan α = 1$ . Dla kąta w trójkącie (czyli $0 < α < 60°$ , bo $α$ to część kąta $60°$ ):

$α = 45°$

Sprawdzenie

Jeśli $α = 45°$ , to $∠ B A D = 60° - 45° = 15°$ .

$\frac{P _{A B D}}{P _{A D C}} = \frac{s i n 15°}{s i n 45°}$

$sin 15° = sin (45° - 30°) = \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6 - 2}{4}$ .

$\frac{P _{A B D}}{P _{A D C}} = \frac{( 6 - 2 ) /4}{2 /2} = \frac{6 - 2}{4} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6 - 2}{2 2} = \frac{3 - 1}{2}$

(po uproszczeniu: $6 / 2 = 3$ , $2 / 2 = 1$ ). ✓ Pasuje.

Punktacja CKE

1 pkt — zapisanie równania $sin (60° - α) / sin α = (3 - 1) /2$ albo równoważne (np. przez stosunek podstaw $B D / D C$ ).
2 pkt — sprowadzenie równania do postaci $3 cot α = 3$ (lub równoważnej z $tan α = 1$ ).
3 pkt — pełna metoda + wynik $α = 45°$ .

Klucz — sinus różnicy

Wzory na sinus i cosinus sumy/różnicy są w „Wybranych wzorach matematycznych” CKE:

$sin (x \pm y) = sin x cos y \pm cos x sin y$
$cos (x \pm y) = cos x cos y \mp sin x sin y$

Używaj ich, gdy w równaniu pojawia się $sin / cos$ z różnicą lub sumą zmiennej i znanego kąta (jak tu $60° - α$ ). Sprowadzasz wtedy równanie do funkcji samej $α$ , którą można rozwiązać przez $tan$ / $cot$ .

Treść zadania

Zadanie 3. (0–3)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Strategia

Sprawdzenie

Punktacja CKE

Klucz — sinus różnicy

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji