Zadanie 4

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Klucz teoretyczny

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{|A\cap B|}{|B|}$

(w modelu klasycznym — drugie wyrażenie z mocami zbiorów).

Tutaj:

• $A$ = „co najmniej raz 6 oczek w 4 rzutach”
• $B$ = „dokładnie 2 razy 5 oczek w 4 rzutach” (warunek)

Łatwiej liczyć moce zbiorów $|A\cap B|$ i $|B|$ niż prawdopodobieństwa.

Krok 1 — $|B|$ (dokładnie dwa razy 5)

Krok 2 — $|A\cap B|$ (dokładnie dwa razy 5 i co najmniej raz 6)

W zdarzeniu $A\cap B$ wciąż mamy dokładnie dwa razy 5, ale dodatkowo wśród pozostałych dwóch rzutów co najmniej jeden to 6.

Krok 3 — prawdopodobieństwo warunkowe

$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{54}{150}$

Skróć $\frac{54}{150}$: NWD$(54,150)=6$, więc:

$P(A|B)=\frac{9}{25}$

Sprawdzenie przez wzór

Można też policzyć inaczej:

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{54/1296}{150/1296}=\frac{54}{150}=\frac{9}{25}$

(skala $1296=6^4$ skraca się — co potwierdza, że w modelu klasycznym dzielenie mocami jest równoważne dzieleniu prawdopodobieństw).

Punktacja CKE

• 1 pkt — zapisanie wzoru $P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}$ albo identyfikacja zbiorów $A$ i $B$.
• 2 pkt — obliczenie $|B|=150$ ALBO $|A\cap B|=54$.
• 3 pkt — pełne rozwiązanie + wynik $\frac{9}{25}$.

Klucz — schemat prawdopodobieństwa warunkowego

Dla zadań „P(A pod warunkiem B)”:

1. Zidentyfikuj zdarzenia $A$ i $B$ osobno z treści.
2. Policz $|B|$ — często mniej rzutów/elementów do uwzględnienia, bo warunek ogranicza.
3. Policz $|A\cap B|$ — zdarzenia spełniające oba warunki.
4. Iloraz $\frac{|A\cap B|}{|B|}$ to odpowiedź.

W modelu klasycznym (równo prawdopodobne zdarzenia) liczenie mocami zbiorów jest najczystsze — unika ułamków z dużymi mianownikami ($6^4=1296$).