Zadanie 8

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 8 - strona 16 arkusza CKE — Strona 16 arkusza CKE z trescia zadania 8. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 16

Strategia

Punkty przecięcia okręgów spełniają oba równania jednocześnie. Najszybsza droga:

Odejmij oba równania okręgów → otrzymasz równanie prostej zawierającej cięciwę $A B$ (oś radykalna).
Z tej prostej wyznacz jedną zmienną przez drugą, podstaw do jednego z okręgów — równanie kwadratowe na drugą zmienną.
Z punktów wybierz ten z dodatnią pierwszą współrzędną jako $A$ .
Z warunku wektorowego wyznacz $M$ .

Krok 1 — znajdź $A$ i $B$

Rozwiń oba równania.

$O_{1}$ : $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$ $x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} + 6 y + 9 = 5$ $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 5 = 0$ (I)

$O_{2}$ : $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45$ $x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16 = 45$ $x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y - 25 = 0$ (II)

Odejmij (II) od (I) — wyrazy $x^{2}$ i $y^{2}$ znikają:

$(- 2 x + 6 y + 5) - (- 4 x - 8 y - 25) = 0$

$2 x + 14 y + 30 = 0$

$x + 7 y + 15 = 0 \Rightarrow x = - 7 y - 15$

(to prosta zawierająca oba punkty przecięcia $A$ i $B$ ).

Podstaw do równania (I).

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 5 = 0$

Z $x = - 7 y - 15$ : $x^{2} = (7 y + 15)^{2} = 49 y^{2} + 210 y + 225$ oraz $- 2 x = 14 y + 30$ .

$49 y^{2} + 210 y + 225 + y^{2} + 14 y + 30 + 6 y + 5 = 0$

$50 y^{2} + 230 y + 260 = 0$

Podziel przez $10$ :

$5 y^{2} + 23 y + 26 = 0$

Rozwiąż równanie kwadratowe.

$Δ = 2 3^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 26 = 529 - 520 = 9, Δ = 3$

$y_{1} = \frac{- 23 - 3}{10} = - \frac{26}{10} = - \frac{13}{5}$

$y_{2} = \frac{- 23 + 3}{10} = - \frac{20}{10} = - 2$

Wyznacz odpowiadające $x$ .

Dla $y_{1} = - \frac{13}{5}$ : $x_{1} = - 7 \cdot (- \frac{13}{5}) - 15 = \frac{91}{5} - \frac{75}{5} = \frac{16}{5}$ .

Dla $y_{2} = - 2$ : $x_{2} = - 7 \cdot (- 2) - 15 = 14 - 15 = - 1$ .

Mamy dwa punkty: $(\frac{16}{5}, - \frac{13}{5})$ oraz $(- 1, - 2)$ .

Wybierz $A$ z dodatnią pierwszą współrzędną.

$\frac{16}{5} = 3, 2 > 0$ ✓ — to $A$ .

$- 1 < 0$ — to $B$ .

$A = (\frac{16}{5}, - \frac{13}{5}), B = (- 1, - 2)$

Krok 2 — wyznacz $M$ z warunku wektorowego

Warunek: $A M = - 2 \cdot BM$ .

Zapisz wektory.

$A M = M - A$ — wektor od $A$ do $M$ . $BM = M - B$ — wektor od $B$ do $M$ .

Warunek: $M - A = - 2 (M - B)$ .

Rozwiąż na $M$ .

$M - A = - 2 M + 2 B$

$M + 2 M = A + 2 B$

$3 M = A + 2 B \Rightarrow M = \frac{A + 2 B}{3}$

Oblicz $A + 2 B$ :

$A + 2 B = (\frac{16}{5}, - \frac{13}{5}) + 2 \cdot (- 1, - 2) = (\frac{16}{5} - 2, - \frac{13}{5} - 4)$

$= (\frac{16}{5} - \frac{10}{5}, - \frac{13}{5} - \frac{20}{5}) = (\frac{6}{5}, - \frac{33}{5})$

Podziel przez 3:

$M = \frac{1}{3} \cdot (\frac{6}{5}, - \frac{33}{5}) = (\frac{6}{15}, - \frac{33}{15}) = (\frac{2}{5}, - \frac{11}{5})$

Sprawdzenie warunku wektorowego

$A M = M - A = (\frac{2}{5} - \frac{16}{5}, - \frac{11}{5} + \frac{13}{5}) = (- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

$BM = M - B = (\frac{2}{5} + 1, - \frac{11}{5} + 2) = (\frac{7}{5}, - \frac{1}{5})$

$- 2 \cdot BM = - 2 \cdot (\frac{7}{5}, - \frac{1}{5}) = (- \frac{14}{5}, \frac{2}{5}) = A M$ ✓

Punktacja CKE

1 pkt — wyznaczenie równania prostej $A B$ (np. $2 x + 14 y = - 30$ ) ALBO zapisanie $x_{M} = \frac{1}{3} x_{A} + \frac{2}{3} x_{B}$ , $y_{M} = \frac{1}{3} y_{A} + \frac{2}{3} y_{B}$ .
2 pkt — zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć współrzędne punktów przecięcia okręgów.
3 pkt — obliczenie współrzędnych punktów $A$ oraz $B$ .
4 pkt — dodatkowo zapisanie równania wektorowego dla $M$ , np. $[x_{M} - \frac{16}{5}, y_{M} + \frac{13}{5}] = - 2 \cdot [x_{M} + 1, y_{M} + 2]$ .
5 pkt — poprawny wynik: $A$ , $B$ oraz $M$ .

Klucz uniwersalny

Schemat dla „punkty przecięcia dwóch okręgów”:

Rozwiń oba równania do postaci ogólnej $x^{2} + y^{2} + \dots = 0$ .
Odejmij stronami — wyrazy kwadratowe się skrócą, zostanie liniowe równanie (oś radykalna).
Wyznacz jedną zmienną przez drugą z tej prostej.
Podstaw do jednego z okręgów → równanie kwadratowe.
Wyznacz oba punkty przecięcia.

Schemat dla „wektor $PQ = k \cdot RS$ ”:

Zapisz wektory jako różnice współrzędnych ( $Q - P$ , $S - R$ ).
Otrzymaj równanie wektorowe $Q - P = k (S - R)$ .
Rozwiąż na nieznany punkt — wynik to kombinacja liniowa znanych punktów.

Treść zadania

Zadanie 8. (0–5)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Strategia

Krok 1 — znajdź $A$ i $B$

Krok 2 — wyznacz $M$ z warunku wektorowego

Sprawdzenie warunku wektorowego

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Zadanie 8. (0–5)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Strategia

Krok 1 — znajdź A i B

Krok 2 — wyznacz M z warunku wektorowego

Sprawdzenie warunku wektorowego

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Krok 1 — znajdź $A$ i $B$

Krok 2 — wyznacz $M$ z warunku wektorowego