Zadanie 8

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Powiększ

Strategia

Punkty przecięcia okręgów spełniają oba równania jednocześnie. Najszybsza droga:

1. Odejmij oba równania okręgów → otrzymasz równanie prostej zawierającej cięciwę $AB$ (oś radykalna).
2. Z tej prostej wyznacz jedną zmienną przez drugą, podstaw do jednego z okręgów — równanie kwadratowe na drugą zmienną.
3. Z punktów wybierz ten z dodatnią pierwszą współrzędną jako $A$.
4. Z warunku wektorowego wyznacz $M$.

Krok 1 — znajdź $A$ i $B$

Krok 2 — wyznacz $M$ z warunku wektorowego

Warunek: $\overrightarrow{AM}=-2\cdot \overrightarrow{BM}$.

Sprawdzenie warunku wektorowego

$\overrightarrow{AM}=M-A=\left(\frac{2}{5}-\frac{16}{5},-\frac{11}{5}+\frac{13}{5}\right)=\left(-\frac{14}{5},\frac{2}{5}\right)$

$\overrightarrow{BM}=M-B=\left(\frac{2}{5}+1,-\frac{11}{5}+2\right)=\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)$

$-2\cdot \overrightarrow{BM}=-2\cdot \left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}\right)=\left(-\frac{14}{5},\frac{2}{5}\right)=\overrightarrow{AM}$ ✓

Punktacja CKE

• 1 pkt — odjęcie równań i zapisanie równania prostej zawierającej $AB$: $x+7y+15=0$.
• 2 pkt — zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą (np. $5y^2+23y+26=0$).
• 3 pkt — obliczenie współrzędnych $A$ ALBO $B$.
• 4 pkt — obliczenie obu punktów $A$ i $B$ z prawidłowym rozróżnieniem (dodatnia pierwsza dla $A$).
• 5 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $M$.

Klucz uniwersalny

Schemat dla „punkty przecięcia dwóch okręgów”:

1. Rozwiń oba równania do postaci ogólnej $x^2+y^2+\dots =0$.
2. Odejmij stronami — wyrazy kwadratowe się skrócą, zostanie liniowe równanie (oś radykalna).
3. Wyznacz jedną zmienną przez drugą z tej prostej.
4. Podstaw do jednego z okręgów → równanie kwadratowe.
5. Wyznacz oba punkty przecięcia.

Schemat dla „wektor $\overrightarrow{PQ}=k\cdot \overrightarrow{RS}$”:

1. Zapisz wektory jako różnice współrzędnych ($Q-P$, $S-R$).
2. Otrzymaj równanie wektorowe $Q-P=k(S-R)$.
3. Rozwiąż na nieznany punkt — wynik to kombinacja liniowa znanych punktów.