Zadanie 9

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 9 - strona 18 arkusza CKE — Strona 18 arkusza CKE z trescia zadania 9. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 18

Strategia

Cel: doprowadzić równanie do jednego argumentu (tu: $2 x$ ). Wzory pomocnicze:

$cos^{2} x - sin^{2} x = cos (2 x)$ (cosinus podwojonego kąta)
$sin (2 x) = 2 sin x cos x$ (sinus podwojonego)

Zgrupuj wyrazy z $sin^{2}$ i $cos^{2}$ .

$3 cos^{2} x - 3 sin^{2} x + 3 sin (2 x) = 0$

$3 (cos^{2} x - sin^{2} x) + 3 sin (2 x) = 0$

Zastosuj wzór $cos^{2} x - sin^{2} x = cos (2 x)$ .

$3 cos (2 x) + 3 sin (2 x) = 0$

Teraz wszystko jest w argumencie $2 x$ — dużo łatwiej.

Podziel obie strony przez $cos (2 x)$ (z założeniem $cos (2 x) \neq = 0$ ):

$3 + 3 tan (2 x) = 0$

$tan (2 x) = - \frac{3}{3} = - 3$

Sprawdź założenie $cos (2 x) \neq = 0$ . Gdyby $cos (2 x) = 0$ , to z oryginalnego równania $3 sin (2 x) = 0$ , czyli $sin (2 x) = 0$ . Ale $cos^{2} (2 x) + sin^{2} (2 x) = 1$ — nie mogą być oba zerowe jednocześnie. Sprzeczność, więc $cos (2 x) \neq = 0$ ✓ (dzielenie dozwolone).

Rozwiąż $tan (2 x) = - 3$ . Wartość $tan θ = - 3$ ma rozwiązania $θ = - \frac{π}{3} + kπ$ , $k \in Z$ .

$2 x = - \frac{π}{3} + kπ \Rightarrow x = - \frac{π}{6} + \frac{kπ}{2}$

Wybierz $x$ z przedziału $[- π, π]$ . Sprawdzam kolejne $k$ :

$k = - 1$ : $x = - \frac{π}{6} - \frac{π}{2} = - \frac{4 π}{6} = - \frac{2 π}{3}$ ✓
$k = 0$ : $x = - \frac{π}{6}$ ✓
$k = 1$ : $x = - \frac{π}{6} + \frac{π}{2} = \frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}$ ✓
$k = 2$ : $x = - \frac{π}{6} + π = \frac{5 π}{6}$ ✓
$k = - 2$ : $x = - \frac{π}{6} - π = - \frac{7 π}{6} < - π$ — poza przedziałem ✗
$k = 3$ : $x = - \frac{π}{6} + \frac{3 π}{2} = \frac{8 π}{6} = \frac{4 π}{3} > π$ — poza ✗

Cztery rozwiązania.

Sprawdzenie liczbowe

Dla $x = \frac{π}{3}$ : $2 x = \frac{2 π}{3}$ , $cos (2 x) = - \frac{1}{2}$ , $sin (2 x) = \frac{3}{2}$ .

$3 cos (2 x) + 3 sin (2 x) = 3 \cdot (- \frac{1}{2}) + 3 \cdot \frac{3}{2} = - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0 ✓$

Dla $x = - \frac{π}{6}$ : $2 x = - \frac{π}{3}$ , $cos (2 x) = \frac{1}{2}$ , $sin (2 x) = - \frac{3}{2}$ .

$3 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot (- \frac{3}{2}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0 ✓$

Punktacja CKE

1 pkt — przekształcenie do postaci $3 cos (2 x) + 3 sin (2 x) = 0$ .
2 pkt — sprowadzenie do równania trygonometrycznego elementarnego (np. $tan (2 x) = - 3$ ).
3 pkt — zapisanie ogólnego wzoru rozwiązań w $R$ ( $x = - \frac{π}{6} + \frac{kπ}{2}$ ).
4 pkt — wybranie co najmniej trzech rozwiązań z $[- π, π]$ .
5 pkt — wszystkie cztery rozwiązania.

Klucz uniwersalny

Schemat dla „równanie trygonometryczne z $sin^{2}$ , $cos^{2}$ , $sin (2 x)$ , $cos (2 x)$ ”:

Rozpoznaj wzory podwojonego kąta: $cos^{2} x - sin^{2} x = cos (2 x)$ , $2 sin x cos x = sin (2 x)$ .
Sprowadź wszystkie wyrazy do argumentu $2 x$ .
Otrzymujesz równanie liniowe w $sin (2 x), cos (2 x)$ — podziel przez jedno z nich (z założeniem) lub użyj wzoru z $R$ .
Otrzymujesz $tan (2 x) = c$ — rozwiąż na $2 x$ , potem na $x$ .
Wybierz rozwiązania z przedziału.

Treść zadania

Zadanie 9. (0–5)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Strategia

Sprawdzenie liczbowe

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji