Zadanie 12

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 12 - strona 25 arkusza CKE — Strona 25 arkusza CKE z trescia zadania 12. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 25

Konfiguracja

Stożek z podstawą o promieniu $r$ , wysokością $h$ , tworzącą $l$ . Z Pitagorasa:

$l = r^{2} + h^{2}$

Odległość środka podstawy $O$ od tworzącej: rozpatrujemy trójkąt prostokątny utworzony przez wierzchołek stożka $S$ (góra), środek podstawy $O$ (dół) i dowolny punkt $P$ na obwodzie podstawy. Trójkąt $SOP$ jest prostokątny przy $O$ (wysokość prostopadła do promienia).

Odległość $O$ od przeciwprostokątnej $SP$ (czyli tworzącej) to klasyczna wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. Wzór:

$d = \frac{r \cdot h}{l} = \frac{r h}{r ^{2} + h ^{2}}$

Z warunku zadania: $d = 5$ .

12.1 — wykaż wzór $V (h)$ (2 pkt)

Zapisz warunek $d = 5$ :

$\frac{r h}{r ^{2} + h ^{2}} = 5$

Podnieś obie strony do kwadratu:

$\frac{r ^{2} h ^{2}}{r ^{2} + h ^{2}} = 25$

$r^{2} h^{2} = 25 (r^{2} + h^{2}) = 25 r^{2} + 25 h^{2}$

Wyznacz $r^{2}$ .

$r^{2} h^{2} - 25 r^{2} = 25 h^{2}$

$r^{2} (h^{2} - 25) = 25 h^{2}$

$r^{2} = \frac{25 h ^{2}}{h ^{2} - 25}$

(dla $h^{2} > 25$ , czyli $h > 5$ — zgodnie z treścią).

Wstaw do wzoru na objętość stożka $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ :

$V (h) = \frac{1}{3} π \cdot \frac{25 h ^{2}}{h ^{2} - 25} \cdot h = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}$

To należało wykazać. $■$

12.2 — minimum $V (h)$ dla $h \in (5, + \infty)$ (4 pkt)

Oblicz pochodną $V^{'} (h)$ . Wygodne uproszczenie: niech $C = \frac{25 π}{3}$ (stała). Wtedy:

$V (h) = C \cdot \frac{h ^{3}}{h ^{2} - 25}$

Pochodna ilorazu $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ :

$V^{'} (h) = C \cdot \frac{3 h ^{2} ( h ^{2} - 25 ) - h ^{3} \cdot 2 h}{( h ^{2} - 25 ) ^{2}}$

Uprość licznik.

$3 h^{2} (h^{2} - 25) - 2 h^{4} = 3 h^{4} - 75 h^{2} - 2 h^{4} = h^{4} - 75 h^{2} = h^{2} (h^{2} - 75)$

Stąd:

$V^{'} (h) = C \cdot \frac{h ^{2} ( h ^{2} - 75 )}{( h ^{2} - 25 ) ^{2}}$

Wyznacz miejsca zerowe pochodnej. Licznik = 0:

$h^{2} (h^{2} - 75) = 0$

$h = 0$ : poza dziedziną ( $h > 5$ )
$h^{2} = 75$ : $h = 75 = 53 \approx 8, 66$ — w dziedzinie ✓

Zbadaj znak $V^{'} (h)$ w dziedzinie $(5, + \infty)$ .

W mianowniku $(h^{2} - 25)^{2} > 0$ zawsze. Licznik $h^{2} (h^{2} - 75)$ :

dla $h \in (5, 53)$ : $h^{2} < 75$ → $h^{2} - 75 < 0$ , czyli $V^{'} (h) < 0$ — funkcja malejąca
dla $h = 53$ : $V^{'} (h) = 0$ — punkt ekstremalny
dla $h > 53$ : $h^{2} > 75$ → $V^{'} (h) > 0$ — funkcja rosnąca

Zatem $h = 53$ to minimum globalne $V$ w dziedzinie $(5, + \infty)$ .

Oblicz $V (53)$ .

$(53)^{2} = 25 \cdot 3 = 75$ , $(53)^{3} = 125 \cdot 33 = 3753$ .

$V (53) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 \cdot 375 3}{75 - 25} = \frac{π}{3} \cdot \frac{9375 3}{50}$

Uprość: $\frac{9375}{150} = \frac{9375}{150} = 62, 5 = \frac{125}{2}$ :

$V (53) = \frac{125 3}{2} π$

Punktacja CKE

12.1 (2 pkt):

1 pkt — wyznaczenie $r^{2} = \frac{25 h ^{2}}{h ^{2} - 25}$ (lub równoważne).
2 pkt — pełne wyprowadzenie wzoru $V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}$ .

12.2 (4 pkt):

1 pkt — obliczenie pochodnej $V^{'} (h)$ .
2 pkt — znalezienie miejsca zerowego $h = 53$ w dziedzinie.
3 pkt — uzasadnienie, że to minimum (badanie znaku pochodnej).
4 pkt — obliczenie $V_{m i n} = \frac{125 3}{2} π$ .

Klucz uniwersalny — optymalizacja brył obrotowych

Schemat dla zadań „wśród stożków/walców/ostrosłupów o ustalonym warunku znajdź ten o ekstremalnej V/P”:

Wyraź jeden wymiar przez drugi używając warunku z treści (najczęściej Pitagoras lub trygonometria).
Zapisz funkcję celu (V albo P) jako funkcję jednej zmiennej.
Wyznacz dziedzinę — gdy występują ograniczenia (np. $h > 5$ żeby $r$ było rzeczywiste).
Pochodna i miejsca zerowe — kandydaci na ekstremum.
Zbadaj znak pochodnej — minimum/maksimum lokalne.
Sprawdź zachowanie na końcach dziedziny — czy ekstremum globalne jest tam, czy nie.
Oblicz wartość w punkcie ekstremum.

Ten schemat działa dla każdej bryły, której parametry są związane jednym warunkiem geometrycznym.

Treść zadania

Zadanie 12.

Zadanie 12.1. (0–2)

Zadanie 12.2. (0–4)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Konfiguracja

12.1 — wykaż wzór $V (h)$ (2 pkt)

12.2 — minimum $V (h)$ dla $h \in (5, + \infty)$ (4 pkt)

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny — optymalizacja brył obrotowych

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Zadanie 12.

Zadanie 12.1. (0–2)

Zadanie 12.2. (0–4)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Konfiguracja

12.1 — wykaż wzór V(h) (2 pkt)

12.2 — minimum V(h) dla h∈(5,+∞) (4 pkt)

Punktacja CKE

Klucz uniwersalny — optymalizacja brył obrotowych

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

12.1 — wykaż wzór $V (h)$ (2 pkt)

12.2 — minimum $V (h)$ dla $h \in (5, + \infty)$ (4 pkt)