Zadanie 11

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Zadanie 11 - strona 22 arkusza CKE — Strona 22 arkusza CKE z trescia zadania 11. Na podstawie: CKE Oryginalny PDF CKE, str. 22

Strategia — trzy warunki

Zadanie wymaga trzech etapów:

Δ > 0 — funkcja ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe.
$x_{1} \cdot x_{2} > 0$ — miejsca tego samego znaku (Viète).
$(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180$ — dodatkowy warunek na różnicę miejsc.

Na końcu — część wspólna wszystkich trzech zbiorów wartości $m$ .

Klucz: funkcja jest kwadratowa (warunek $a = 2 - m \neq = 0$ , czyli $m \neq = 2$ — z treści).

Wzory Viète’a

Dla równania $(2 - m) x^{2} - 2 (2 m + 1) x + (m + 8) = 0$ :

$x_{1} + x_{2} = \frac{2 ( 2 m + 1 )}{2 - m}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m + 8}{2 - m}$

Etap 1 — Δ > 0

Oblicz wyróżnik.

$Δ = [2 (2 m + 1)]^{2} - 4 \cdot (2 - m) \cdot (m + 8)$

$Δ = 4 [(2 m + 1)^{2} - (2 - m) (m + 8)]$

Rozwiń kolejno:

$(2 m + 1)^{2} = 4 m^{2} + 4 m + 1$

$(2 - m) (m + 8) = 2 m + 16 - m^{2} - 8 m = - m^{2} - 6 m + 16$

Różnica:

$4 m^{2} + 4 m + 1 - (- m^{2} - 6 m + 16) = 5 m^{2} + 10 m - 15 = 5 (m^{2} + 2 m - 3)$

Rozłóż na czynniki: $m^{2} + 2 m - 3 = (m + 3) (m - 1)$ .

$Δ = 20 (m + 3) (m - 1)$

Warunek $Δ > 0$ :

$(m + 3) (m - 1) > 0$

$m \in (- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$

Etap 2 — $x_{1} \cdot x_{2} > 0$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{m + 8}{2 - m} > 0$

Iloraz dodatni gdy licznik i mianownik mają ten sam znak:

Oba dodatnie: $m + 8 > 0$ i $2 - m > 0$ , czyli $m > - 8$ i $m < 2$ → $m \in (- 8, 2)$ .
Oba ujemne: $m < - 8$ i $m > 2$ — sprzeczne, brak rozwiązań.

Stąd: $m \in (- 8, 2)$ .

Etap 3 — $(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180$

Tożsamość: $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ .

Podstaw Viète’a:

$(x_{1} - x_{2})^{2} = [\frac{2 ( 2 m + 1 )}{2 - m}]^{2} - 4 \cdot \frac{m + 8}{2 - m}$

Sprowadź do wspólnego mianownika $(2 - m)^{2}$ :

$(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{4 ( 2 m + 1 ) ^{2} - 4 ( m + 8 ) ( 2 - m )}{( 2 - m ) ^{2}}$

Licznik upraszcza się jak w Etapie 1:

$4 (2 m + 1)^{2} - 4 (m + 8) (2 - m) = 4 \cdot 5 (m^{2} + 2 m - 3) = 20 (m^{2} + 2 m - 3)$

Stąd:

$(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{20 ( m ^{2} + 2 m - 3 )}{( 2 - m ) ^{2}}$

Warunek $(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180$ :

$\frac{20 ( m ^{2} + 2 m - 3 )}{( 2 - m ) ^{2}} \leq 180$

Pomnóż obie strony przez $(2 - m)^{2} > 0$ (mnożnik dodatni, nierówność bez zmian):

$20 (m^{2} + 2 m - 3) \leq 180 (2 - m)^{2}$

$m^{2} + 2 m - 3 \leq 9 (2 - m)^{2}$

Rozwiń prawą stronę: $(2 - m)^{2} = 4 - 4 m + m^{2}$ , więc $9 (2 - m)^{2} = 9 m^{2} - 36 m + 36$ .

$m^{2} + 2 m - 3 \leq 9 m^{2} - 36 m + 36$

$0 \leq 8 m^{2} - 38 m + 39$

Rozwiąż nierówność $8 m^{2} - 38 m + 39 \geq 0$ .

$Δ^{'} = 3 8^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 39 = 1444 - 1248 = 196$

$Δ^{'} = 14$

$m_{1, 2} = \frac{38 \pm 14}{16}$

$m_{1} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}, m_{2} = \frac{52}{16} = \frac{13}{4}$

Parabola $8 m^{2} - 38 m + 39$ otwiera się w górę ( $a = 8 > 0$ ), więc $\geq 0$ poza pierwiastkami:

$m \in (- \infty, \frac{3}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{13}{4}, + \infty)$

Etap 4 — część wspólna wszystkich trzech warunków

Z etapów 1, 2, 3:

(1) $m \in (- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$
(2) $m \in (- 8, 2)$
(3) $m \in (- \infty, \frac{3}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{13}{4}, + \infty)$

Najpierw (1) ∩ (2):

$[(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)] \cap (- 8, 2) = (- 8, - 3) \cup (1, 2)$

Teraz [(1) ∩ (2)] ∩ (3):

$(- 8, - 3) \cap (- \infty, \frac{3}{2} ⟩ = (- 8, - 3)$ ✓ (cały lewy fragment się mieści, bo $- 3 < \frac{3}{2}$ )
$(- 8, - 3) \cap ⟨ \frac{13}{4}, + \infty) = \emptyset$ (bo $- 3 < \frac{13}{4}$ )
$(1, 2) \cap (- \infty, \frac{3}{2} ⟩ = (1, \frac{3}{2} ⟩$
$(1, 2) \cap ⟨ \frac{13}{4}, + \infty) = \emptyset$ (bo $2 < \frac{13}{4} = 3, 25$ )

Suma:

$m \in (- 8, - 3) \cup (1, \frac{3}{2} ⟩$

Sprawdzenie

Dla $m = - 5$ (w $(- 8, - 3)$ ):

$a = 7$ , $b = 18$ , $c = 3$
$Δ = 324 - 84 = 240 > 0$ ✓
$x_{1} x_{2} = 3/7 > 0$ ✓
$(x_{1} - x_{2})^{2} = (18/7)^{2} - 12/7 = 324/49 - 84/49 = 240/49 \approx 4, 9 \leq 180$ ✓

Dla $m = \frac{3}{2}$ (graniczne):

$a = 1/2$ , $b = - 8$ , $c = 19/2$
$Δ = 64 - 19 = 45 > 0$ ✓
$x_{1} x_{2} = (19/2) / (1/2) = 19 > 0$ ✓
$(x_{1} - x_{2})^{2} = 1 6^{2} - 4 \cdot 19 = 256 - 76 = 180$ ✓ (dokładnie równa)

Wszystko pasuje.

Punktacja CKE (zwykle 3 etapy)

Etap 1 ( $Δ > 0$ ): 1 pkt.

Etap 2 ( $x_{1} x_{2} > 0$ ): 1 pkt (lub kontekst dodatkowy w innych klasyfikacjach).

Etap 3 (nierówność z $(x_{1} - x_{2})^{2}$ ): 3-4 pkt zależnie od dokładności.

Etap 4 (część wspólna): 1 pkt za końcowy zbiór.

Razem 6 pkt.

Klucz uniwersalny

Standardowy schemat dla zadań „parametr $m$ + warunki na miejsca zerowe”:

Wyznacz dziedzinę istnienia dwóch miejsc zerowych ( $Δ > 0$ lub $\geq 0$ ).
Zapisz Viète’a dla $x_{1} + x_{2}$ i $x_{1} x_{2}$ .
Każdy dodatkowy warunek (znak, suma, różnica, kwadrat) → przekształć przez Viète’a do nierówności tylko w $m$ .
Część wspólna wszystkich zbiorów rozwiązań.

Często najtrudniejszy element to algebra przekształcania $(x_{1} - x_{2})^{2}$ przez Viète’a — pamiętaj tożsamość $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ .

Treść zadania

Zadanie 11. (0–6)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Strategia — trzy warunki

Wzory Viète’a

Etap 1 — Δ > 0

Etap 2 — $x_{1} \cdot x_{2} > 0$

Etap 3 — $(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180$

Etap 4 — część wspólna wszystkich trzech warunków

Sprawdzenie

Punktacja CKE (zwykle 3 etapy)

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Treść zadania

Zadanie 11. (0–6)

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z tym zadaniem

Strategia — trzy warunki

Wzory Viète’a

Etap 1 — Δ > 0

Etap 2 — x1​⋅x2​>0

Etap 3 — (x1​−x2​)2≤180

Etap 4 — część wspólna wszystkich trzech warunków

Sprawdzenie

Punktacja CKE (zwykle 3 etapy)

Klucz uniwersalny

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

Etap 2 — $x_{1} \cdot x_{2} > 0$

Etap 3 — $(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180$