Zadanie 14 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2026, PP

Treść zadania

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykresem funkcji kwadratowej $f$ jest parabola o wierzchołku w punkcie $W = (3, - 2)$ . Funkcja kwadratowa $g$ jest określona za pomocą funkcji $f$ wzorem $g (x) = f (x + 1)$ . Jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba $0$ .

Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{5}{2}$

Typowy błąd / pułapka

Pułapka: $g (x) = f (x + 1)$ to przesunięcie wykresu w lewo o 1. Jeśli $0$ jest miejscem zerowym $g$ , to $f (1) = 0$ — miejsce zerowe $g$ przesunięte o 1 w prawo jest miejscem zerowym $f$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 14 - funkcja kwadratowa z przesunięciem — Strona 16 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 14. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 16

Co zrobić?

Postać kanoniczna $f$ . Wierzchołek $(3, - 2)$ → $f (x) = a (x - 3)^{2} - 2$ .

Wykorzystaj informację o $g$ . $g (x) = f (x + 1)$ , więc:

$g (0) = f (0 + 1) = f (1) = 0$

Czyli $f (1) = 0$ .

Wyznacz $a$ . Podstaw $x = 1$ :

$a (1 - 3)^{2} - 2 = 0$

$4 a = 2$

$a = \frac{1}{2}$

Rozwiń do postaci ogólnej.

$f (x) = \frac{1}{2} (x - 3)^{2} - 2 = \frac{1}{2} (x^{2} - 6 x + 9) - 2$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{9}{2} - 2 = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{5}{2}$

Sprawdzenie.

Wierzchołek $x_{W} = - \frac{- 3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3$ ✓
$f (3) = \frac{9}{2} - 9 + \frac{5}{2} = 7 - 9 = - 2$ ✓
$f (1) = \frac{1}{2} - 3 + \frac{5}{2} = 0$ ✓

Po co to umieć

Dwa rodzaje informacji o paraboli:

Wierzchołek $(p, q)$ → postać kanoniczna $a (x - p)^{2} + q$ .
Miejsca zerowe $x_{1}, x_{2}$ → postać iloczynowa $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Mając jedno + jeden punkt → wyznaczasz $a$ . Rozwijasz do ogólnej tylko na końcu.

Przekształcenia: $f (x + k)$ → przesunięcie w lewo o $k$ ; $f (x - k)$ → w prawo.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „funkcja kwadratowa, postać kanoniczna, przesunięcie wykresu” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl