Zadanie 15 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2026, PP

Treść zadania

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = 3 n + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Trzywyrazowy ciąg $(a_{1}, a_{9}, a_{k})$ jest geometryczny.

Oblicz $k$ . Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

$k = 41$

Typowy błąd / pułapka

Warunek na ciąg geometryczny: $a_{9}^{2} = a_{1} \cdot a_{k}$ (kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych), nie iloraz wyrazów.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 15 - ciąg geometryczny w arytmetycznym — Strona 18 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 15. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 18

Co zrobić?

Oblicz $a_{1}$ i $a_{9}$ .

$a_{1} = 3 \cdot 1 + 5 = 8$

$a_{9} = 3 \cdot 9 + 5 = 32$

Wyraź $a_{k}$ .

$a_{k} = 3 k + 5$

Warunek na ciąg geometryczny. Dla liczb różnych od zera: trzy liczby tworzą ciąg geometryczny $⟺$ kwadrat środkowej = iloczyn skrajnych:

$a_{9}^{2} = a_{1} \cdot a_{k}$

$3 2^{2} = 8 \cdot (3 k + 5)$

$1024 = 24 k + 40$

Rozwiąż.

$24 k = 984$

$k = 41$

Sprawdzenie. $a_{41} = 3 \cdot 41 + 5 = 128$ . Iloraz $q = \frac{a _{9}}{a _{1}} = \frac{32}{8} = 4$ . $a_{9} \cdot q = 32 \cdot 4 = 128 = a_{41}$ ✓.

Po co to umieć

Wzór $a_{n} = p n + q$ daje ciąg arytmetyczny (różnica = $p$ ). Wzór $a_{n} = c \cdot q^{n}$ daje geometryczny (iloraz = $q$ ).

Trzy liczby $a, b, c$ różne od zera tworzą ciąg geometryczny $⟺ b^{2} = a c$ . Z tego wzoru wyciągasz każdą z trzech jak masz dwie pozostałe.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, warunek na ciąg geometryczny” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl