Zadanie 33

Zadanie 33

Matura z matematyki, maj 2026, poziom podstawowy

Wymaganie:

33.1: V.11 — wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień fizycznych, także osadzonych w kontekście praktycznym. 33.2: XIII — rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W chwili $t = 0$ z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość $h$ , na której znajduje się piłeczka w danej chwili $t$ , jest określona wzorem $h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t$ , gdzie czas $t$ jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od $0$ do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię, a wysokość $h$ jest wyrażona w metrach i liczona względem poziomu ziemi.

33.1. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

33.2. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

(w obu częściach)A.

t = 1, 5

sB.

t = 2

sC.

t = 2, 5

sD.

t = 3

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 33 - lot piłeczki, funkcja kwadratowa — Strona 32 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 33.1. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 32

Co zrobić?

33.1. — kiedy uderzy w ziemię?

$h (t) = 0$ — piłeczka na poziomie ziemi.

$- 4, 9 t^{2} + 14, 7 t = 0$

$t \cdot (- 4, 9 t + 14, 7) = 0$

Dwa rozwiązania:

$t = 0$ (moment wyrzutu)
$- 4, 9 t + 14, 7 = 0 ⟹ t = \frac{14 , 7}{4 , 9} = 3$ (uderzenie w ziemię)

33.2. — największa wysokość?

Wierzchołek paraboli. Funkcja kwadratowa $h (t) = a t^{2} + b t + c$ , ekstremum przy:

$t_{W} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{14 , 7}{2 \cdot ( - 4 , 9 )} = \frac{14 , 7}{9 , 8} = 1, 5$

Bo $a = - 4, 9 < 0$ , parabola ma maksimum.

Sprawdzenie: dla paraboli (lot symetryczny) max jest dokładnie w połowie czasu lotu: $\frac{3}{2} = 1, 5$ s ✓.

Po co to umieć

Klasyczny model fizyczny: $h (t) = h_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ( $g \approx 9, 8$ m/s²). Tu $h_{0} = 0$ , $v_{0} = 14, 7$ m/s.

Trzy własności paraboli z fizyki:

Miejsca zerowe — czasy startu i upadku.
Wierzchołek $t_{W}$ — moment max. wysokości (w połowie czasu lotu).
Wartość $h_{W}$ — sama maksymalna wysokość.