Zadanie 20

Matura z matematyki, maj 2026, poziom podstawowy

Wymaganie:

VIII.7 — stosuje twierdzenie Talesa.

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Na płaszczyźnie dane są cztery proste: $k$ , $l$ , $m$ oraz $n$ . Proste $k$ oraz $l$ są równoległe. Prosta $m$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $A$ oraz $C$ . Prosta $n$ przecina proste $k$ oraz $l$ w punktach – odpowiednio – $D$ oraz $B$ . Odcinki $A C$ i $B D$ przecinają się w punkcie $O$ . Ponadto $∣ O A ∣ = 12$ , $∣ OB ∣ = 6$ oraz $∣ OC ∣ = 8$ (zobacz rysunek w arkuszu).

Odcinek $O D$ ma długość

4

9

10

16

Proste równoległe k i l przecięte prostymi m i n w punktach A, C oraz D, B; odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O, zaznaczone długości 12, 8 i 6. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605 Oryginalny PDF CKE, str. 22

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Pułapka: trójkąty $A O D$ i $COB$ są podobne (kąty wierzchołkowe + kąty naprzemianległe przy $k ∥ l$ ). Stosunek: $\frac{O A}{OC} = \frac{O D}{OB}$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 20 - trójkąty podobne między równoległymi — Strona 22 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 20. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 22

Co zrobić?

Podobieństwo trójkątów $A O D$ i $COB$ .

$∠ A O D = ∠ COB$ — kąty wierzchołkowe w $O$ .
$∠ O A D = ∠ OCB$ — kąty naprzemianległe (prosta $m$ przecina równoległe $k ∥ l$ ).

Trójkąty $A O D$ i $COB$ są podobne w skali $\frac{O A}{OC}$ .

Stosunek boków. W podobnych trójkątach odpowiednie boki proporcjonalne:

$\frac{O A}{OC} = \frac{O D}{OB}$

$\frac{12}{8} = \frac{O D}{6}$

Rozwiąż.

$O D = \frac{12 \cdot 6}{8} = \frac{72}{8} = 9$

Po co to umieć

Zawsze gdy w zadaniu są proste równoległe i sieczne przecinające się w punkcie — szukaj trójkątów podobnych (przez kąty naprzemianległe i wierzchołkowe). To typowa konfiguracja z twierdzenia Talesa.

Sprawdź na końcu: jeśli $\frac{12}{8} = \frac{9}{6} = 1, 5$ — proporcja zachowana ✓.

Podobne zadania

geometria analityczna, prostopadłość prostych

Zadanie 23 (1 pkt)

maj 2024 • PP

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k: y = (m + 1)x + 7, l: y = −2x + 7. Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa **A.** −1/2 **B.** 1/2 **C.** −3 **D.** 1

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „trójkąty podobne, proste równoległe, twierdzenie Talesa” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl