Zadanie 21

Treść zadania

Dany jest trójkąt $K L M$ , w którym $∣ K M ∣ = a$ oraz $∣ L M ∣ = b$ . Dwusieczna kąta $L M K$ przecina bok $K L$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek w arkuszu).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta $K NM$ do pola trójkąta $N L M$ jest równy $\frac{a}{b}$ .

Trójkąt KLM z bokami |KM| = a i |LM| = b oraz dwusieczną kąta LMK przecinającą bok KL w punkcie N. — Na podstawie: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605 Oryginalny PDF CKE, str. 23

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Dwusieczna $MN$ tworzy z bokami $K M$ i $L M$ równe kąty $α = ∠ K MN = ∠ L MN$ .
Pole z sinusa: $P_{K NM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot MN \cdot sin α$ i $P_{N L M} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot MN \cdot sin α$ .
Stosunek: $\frac{P _{K NM}}{P _{N L M}} = \frac{a}{b}$ .

Typowy błąd / pułapka

Klucz dowodu: oba trójkąty mają wspólne ramię $MN$ i równe kąty przy $M$ (bo $MN$ to dwusieczna). Wzór $P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot sin α$ skraca wszystko poza $a$ i $b$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 21 - dowód stosunku pól, dwusieczna — Strona 23 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 21. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 23

Co zrobić?

Co wiemy z dwusiecznej. $MN$ dzieli $∠ L M K$ na połowy:

$∠ K MN = ∠ L MN = α$

Pole trójkąta $K NM$ z dwóch boków $K M$ i $MN$ oraz kąta między nimi:

$P_{K NM} = \frac{1}{2} \cdot ∣ K M ∣ \cdot ∣ MN ∣ \cdot sin (∠ K MN) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot MN \cdot sin α$

Pole trójkąta $N L M$ analogicznie:

$P_{N L M} = \frac{1}{2} \cdot ∣ L M ∣ \cdot ∣ MN ∣ \cdot sin (∠ L MN) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot MN \cdot sin α$

Stosunek. $MN$ , $sin α$ i $\frac{1}{2}$ się skracają:

$\frac{P _{K NM}}{P _{N L M}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot MN \cdot s i n α}{\frac{1}{2} \cdot b \cdot MN \cdot s i n α} = \frac{a}{b}$

$■$

Po co to umieć

Wzór $P = \frac{1}{2} b c sin α$ pozwala obliczyć pole trójkąta, gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Inna droga (też w zasadach oceniania CKE): punkt $N$ na dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, więc oba trójkąty mają równe wysokości poprowadzone z $N$ .

W dowodach: zawsze szukaj tego co się skraca — wspólne wysokości, kąty, boki. Dobierz wzór pod te skróty.

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji