Zadanie 22

Matura z matematyki, maj 2026, poziom podstawowy

Wymaganie:

VIII.3 — rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności; VIII.10 — wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie, m.in. środek okręgu opisanego na trójkącie.

Treść zadania

W okrąg $O$ o promieniu $93$ wpisano trójkąt równoboczny $T$ .

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta $T$ ma długość ...

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Łatwo pomylić promień okręgu wpisanego ( $r = \frac{a 3}{6}$ ) z promieniem opisanego ( $R = \frac{a 3}{3}$ ). Wpisanego w trójkąt = małe kółko w środku trójkąta. Opisanego na trójkącie = duże kółko wokół wierzchołków.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 22 - trójkąt równoboczny wpisany w okrąg — Strona 24 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 22. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 24

Co zrobić?

Wzór dla trójkąta równobocznego. Promień okręgu opisanego (przez wierzchołki):

$R = \frac{a 3}{3} = \frac{a}{3}$

Wyznacz $a$ .

$93 = \frac{a}{3}$

$a = 93 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$

Po co to umieć

Trójkąt równoboczny — pełen wzorów z $3$ :

Pole: $P = \frac{a ^{2} 3}{4}$
Wysokość: $h = \frac{a 3}{2}$
Promień opisanego: $R = \frac{a 3}{3}$
Promień wpisanego: $r = \frac{a 3}{6}$

Wszystkie wynikają z $h$ : wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne o kątach $30°$ , $60°$ , $90°$ , a środek okręgu opisanego dzieli każdą wysokość w stosunku $2 : 1$ .

Podobne zadania

trójkąty podobne, twierdzenie Pitagorasa, pole

Zadanie 22 (2 pkt)

maj 2023 • PP

### Zadanie 22. (0-2) Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $5$ i $12$. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $26$. **Oblicz pole trójkąta $T_2$. Zapisz obliczenia.**

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, promień” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl