Zadanie 12

Pierwsza gałąź: $x+2=3⟹x=1$. Sprawdź: $1\in [-4,2]$ ✓.

Druga gałąź: $-x+5=3⟹x=2$. Sprawdź: $2\notin (2,5)$ ✗ (kółko otwarte).

Wynik: $x=1$.

Max na $[2,3]$.

• $x=2$ należy do pierwszej gałęzi (przedział domknięty $[-4,2]$): $f(2)=2+2=4$.
• $x\in (2,3]$ — druga gałąź $-x+5$, malejąca. Wartości: ${\lim }_{x\to 2^{+}}=3$ (nieosiągnięta), $f(3)=2$.

Największa wartość = $4$ (przy $x=2$).

Zbiór wartości.

• Pierwsza gałąź ($x+2$, $x\in [-4,2]$): od $f(-4)=-2$ do $f(2)=4$, czyli $⟨-2,4⟩$.
• Druga gałąź ($-x+5$, $x\in (2,5)$): od $f(2^{+})=3$ do $f(5^{-})=0$, czyli $(0,3)$.

Suma: $⟨-2,4⟩\cup (0,3)=⟨-2,4⟩$ (druga gałąź daje tylko wartości już zawarte w pierwszej).

Argumenty z $f(x)>1$.

• Pierwsza gałąź: $x+2>1⟹x>-1$, w $[-4,2]$ daje $(-1,2⟩$.
• Druga gałąź: $-x+5>1⟹x<4$, w $(2,5)$ daje $(2,4)$.

Suma: $(-1,2⟩\cup (2,4)=(-1,4)$ (w $x=2$ wartość $4>1$, więc nie ma dziury).