Zadanie 23

Matura z matematyki, maj 2026, poziom podstawowy

Wymaganie:

VII.2 — korzysta z wzorów $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ , $tg α = \frac{s i n α}{c o s α}$ .

Treść zadania

Kąt $α$ jest ostry i spełnia warunek $\frac{3 s i n α + 4 c o s α}{4 c o s α} = 6$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta $α$ jest równy

\frac{5}{8}

\frac{8}{3}

\frac{32}{5}

\frac{20}{3}

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Klucz: rozdziel ułamek na sumę: $\frac{3 s i n α}{4 c o s α} + \frac{4 c o s α}{4 c o s α} = \frac{3}{4} tan α + 1$ . Inna droga: pomnóż obie strony przez $4 cos α$ (dla kąta ostrego $cos α \neq = 0$ ): $3 sin α = 20 cos α$ , więc $tan α = \frac{20}{3}$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 23 - tangens kąta ostrego z wyrażenia trygonometrycznego — Strona 24 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 23. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 24

Co zrobić?

Rozdziel ułamek na sumę dwóch.

$\frac{3 s i n α + 4 c o s α}{4 c o s α} = \frac{3 s i n α}{4 c o s α} + \frac{4 c o s α}{4 c o s α}$

$= \frac{3}{4} \cdot \frac{s i n α}{c o s α} + 1 = \frac{3}{4} tan α + 1$

Równanie z $tan α$ .

$\frac{3}{4} tan α + 1 = 6$

$\frac{3}{4} tan α = 5$

$tan α = \frac{20}{3}$

Po co to umieć

W zadaniach trygonometrycznych zawsze szukaj, jak dzielić ułamki na sumy, przemnażać przez $cos α$ lub wyciągać $tan α$ .

Tożsamość, którą warto znać: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1 ⟹ 1 + tan^{2} α = \frac{1}{c o s ^{2} α}$

Podobne zadania

geometria analityczna, prostopadłość prostych, przecięcie

Zadanie 23 (1 pkt)

maj 2023 • PP

### Zadanie 23. (0-1) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są proste $k$ oraz $l$ o równaniach $$k: y = \frac{2}{3}x$$ $$l: y = -\frac{3}{2}x + 13$$ **Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.** Proste $k$ oraz $l$ **A./B.** i przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych **1./2./3.** **A.** są prostopadłe **B.** nie są prostopadłe **1.** $(-6, -4)$ **2.** $(6, 4)$ **3.** $(-6, 4)$

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „trygonometria, tangens, manipulacja wyrażeniem” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl