Zadanie 17

Matura z matematyki, maj 2026, poziom podstawowy

Wymaganie:

V.2 — ciąg geometryczny, własności.

Treść zadania

Ciąg geometryczny, $a_{3} \cdot a_{6} = 18$ . Oblicz $a_{2} \cdot a_{7}$ .

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Pułapka: w ciągu geometrycznym iloczyny par o stałej sumie indeksów są równe. Tutaj $2 + 7 = 9 = 3 + 6$ , więc $a_{2} \cdot a_{7} = a_{3} \cdot a_{6}$ .

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 17 - ciąg geometryczny, iloczyn wyrazów — Strona 19 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 17. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 19

Co zrobić?

Wzór wyrazu ciągu geometrycznego: $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

Iloczyn $a_{3} \cdot a_{6}$ :

$a_{3} \cdot a_{6} = a_{1} q^{2} \cdot a_{1} q^{5} = a_{1}^{2} \cdot q^{7}$

Iloczyn $a_{2} \cdot a_{7}$ :

$a_{2} \cdot a_{7} = a_{1} q \cdot a_{1} q^{6} = a_{1}^{2} \cdot q^{7}$

Wniosek. $a_{2} \cdot a_{7} = a_{3} \cdot a_{6} = 18$ .

Klucz: wykładniki $q$ w obu iloczynach sumują się do $7$ (bo $1 + 6 = 7$ i $2 + 5 = 7$ ).

Po co to umieć

Identyczna własność jak ciągu arytmetycznego dla sum: $a_{i} + a_{j} = a_{k} + a_{l}$ gdy $i + j = k + l$ . W geometrycznym to samo, ale dla iloczynów.

Szczególnie: $a_{n}^{2} = a_{n - k} \cdot a_{n + k}$ (warunek na średnią geometryczną).

Podobne zadania

planimetria, twierdzenie o dwusiecznej kąta

Zadanie 20 (1 pkt)

maj 2024 • PP

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a ≠ b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN| = c, |NL| = d oraz |MN| = e. W trójkącie KLM prawdziwa jest równość **A.** a · b = c · d **B.** a · d = b · c **C.** a · c = b · d **D.** a · b = e · e

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ciąg geometryczny, własność iloczynów" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl