Zadanie 25 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2026, PP

Treść zadania

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest okrąg $O$ o środku w punkcie $S = (1, - 3)$ i o promieniu $5$ .

Punkt $A = (4, - 7)$ leży na okręgu $O$ . — P / F
Okrąg $O$ jest określony równaniem $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$ . — P / F

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Typowy błąd / pułapka

Pułapka: w równaniu okręgu po prawej stronie jest $r^{2}$ , nie $r$ . Tu $r = 5$ , więc $r^{2} = 25$ , a zdanie pokazuje $= 5$ — fałsz.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 25 - równanie okręgu, P/F — Strona 26 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 25. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 26

Co zrobić?

Zdanie 1: $A = (4, - 7)$ leży na okręgu?

Sprawdź odległość $∣ S A ∣$ . Punkt leży na okręgu $⟺ ∣ S A ∣ = r$ .

$∣ S A ∣^{2} = (4 - 1)^{2} + (- 7 - (- 3))^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$

$∣ S A ∣ = 5 = r$ ✓ — punkt leży na okręgu. PRAWDA.

Zdanie 2: Równanie $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$ ?

Wzór ogólny: okrąg o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ ma równanie $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ .

Środek $(1, - 3)$ , $r = 5$ → po prawej stronie powinno być $r^{2} = 25$ , nie $5$ .

Poprawne równanie: $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 25$ .

Zdanie pokazuje $= 5$ — FAŁSZ.

Po co to umieć

Równanie okręgu: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Środek $(a, b)$ — uwaga na znaki: $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2}$ to środek $(1, - 3)$ (bo $+ 3 = - (- 3)$ ).

Punkt leży na okręgu ⟺ podstawienie spełnia równanie ⟺ odległość od środka = $r$ .

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „równanie okręgu, sprawdzanie czy punkt leży na okręgu” zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl