Zadanie 24 — rozwiązanie, matura matematyki maj 2026, PP

Treść zadania

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

$A = (0, - 3)$ , $B = (2, 1)$ , $C = (0, 2)$ — wierzchołki trójkąta prostokątnego. 24.1. Pole trójkąta. 24.2. Środek okręgu opisanego.

Źródło: arkusz CKE MMAP-P0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

24.1. B — pole = 5.

24.2. D — środek = $(0, - \frac{1}{2})$ .

Typowy błąd / pułapka

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej. Klucz: zidentyfikuj który bok to przeciwprostokątna (sprawdź iloczyny skalarne lub Pitagoras).

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 24 - trójkąt prostokątny w układzie współrzędnych — Strona 25 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 24.1 + 24.2. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 25

Co zrobić?

24.1. — Pole trójkąta

Wektory boków.

$A B = (2 - 0, 1 - (- 3)) = (2, 4)$
$A C = (0, 5)$
$BC = (- 2, 1)$

Sprawdź gdzie kąt prosty. Iloczyn skalarny = 0 → prostopadłe.

$A B \cdot BC = 2 \cdot (- 2) + 4 \cdot 1 = 0$

Kąt prosty przy wierzchołku $B$ .

Długości przyprostokątnych.

$∣ A B ∣ = 4 + 16 = 25$

$∣ BC ∣ = 4 + 1 = 5$

Pole.

$P = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5$

24.2. — Środek okręgu opisanego

Twierdzenie. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej (twierdzenie Talesa odwrotne).

Przeciwprostokątna = bok naprzeciw kąta prostego. Kąt prosty przy $B$ → przeciwprostokątna = $A C$ .

Środek odcinka $A C$ .

$S = (\frac{0 + 0}{2}, \frac{- 3 + 2}{2}) = (0, - \frac{1}{2})$

Po co to umieć

Geometria analityczna trójkąta prostokątnego — najlepsza droga przez:

Wektory boków $A B$ , $BC$ , $C A$ .
Iloczyn skalarny = 0 wykrywa kąt prosty.
Twierdzenie Talesa o trójkącie w półokręgu: kąt prosty $⟺$ wierzchołek leży na okręgu z przeciwprostokątną jako średnicą.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „geometria analityczna, trójkąt prostokątny, środek okręgu opisanego" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl