Zadanie 7

Rozwiązanie

$7 n^{2} + 21 n = 7 n (n + 3)$ . Wystarczy pokazać, że $n (n + 3)$ jest podzielna przez $2$ . Liczby $n$ i $n + 3$ mają różną parzystość (różnią się o liczbę nieparzystą $3$ ), więc dokładnie jedna z nich jest parzysta. Iloczyn $n (n + 3) = 2 k$ dla pewnego $k$ , stąd $7 n (n + 3) = 14 k$ . ∎

Typowy błąd / pułapka

Błędne uzasadnienie: „ $n$ i $n + 3$ to liczby kolejne” — nie są. Kolejne to $n, n + 1$ . Tutaj $n + 3$ ma inną parzystość niż $n$ (różnica nieparzysta), więc działają jak liczby kolejne pod względem parzystości. Uwaga z zasad oceniania CKE: sprawdzenie tezy tylko dla wybranych wartości $n$ daje 0 punktów.

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Zadanie 7 - dowód podzielności przez 14 — Strona 7 arkusza CKE 2026 PP - zadanie 7. Na podstawie: CKE 2026 Oryginalny PDF CKE, str. 7

Co zrobić?

Wyłącz wspólny czynnik:

$7 n^{2} + 21 n = 7 n (n + 3)$

Cel: Pokazać, że $7 n (n + 3)$ jest podzielne przez $14 = 7 \cdot 2$ . Współczynnik $7$ już mamy. Wystarczy wykazać, że $n (n + 3)$ jest parzyste.

Zauważ kluczową własność: $n$ i $n + 3$ mają różną parzystość, bo różnica jest nieparzysta ( $3$ ). Więc dokładnie jedna z nich jest parzysta:

$n$ parzyste → $n = 2 k$ → $n (n + 3) = 2 k (2 k + 3)$ podzielne przez $2$
$n$ nieparzyste → $n + 3$ parzyste → $n + 3 = 2 k$ → $n (n + 3) = n \cdot 2 k$ podzielne przez $2$

W obu przypadkach $n (n + 3) = 2 m$ dla pewnego $m \in Z$ .

Wniosek:

$7 n (n + 3) = 7 \cdot 2 m = 14 m$

To znaczy, że $7 n^{2} + 21 n$ jest podzielne przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$ . ∎

Po co to umieć

Reguła parzystości iloczynu: dwie liczby o różnej parzystości dają iloczyn parzysty. Dwie liczby o tej samej parzystości — iloczyn też tej samej parzystości jak składniki (parzyste × parzyste = parzyste, nieparzyste × nieparzyste = nieparzyste).

Liczby $n, n + 1$ (kolejne): zawsze różna parzystość → iloczyn parzysty. Liczby $n, n + 3$ (różnica nieparzysta): też różna parzystość → iloczyn parzysty.

Treść zadania

Rozwiązanie

Strona arkusza CKE z trescia zadania

Co zrobić?

Po co to umieć

Podobne zadania

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji