Zadanie 10 — rozwiązanie, matura fizyki maj 2026, PR

Treść zadania

Cząstka $β^{-}$ emitowana podczas rozpadu jądra ma energię kinetyczną $E_{kin} = 1, 311 MeV$ . Energia spoczynkowa cząstki $β^{-}$ wynosi $E_{0} = 0, 511 MeV$ .

Polecenie: oblicz $\frac{v}{c}$ . Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Energia całkowita cząstki relatywistycznej to suma energii spoczynkowej i kinetycznej:

$E = E_{0} + E_{kin} = 0, 511 + 1, 311 = 1, 822 MeV$

Z definicji czynnika Lorentza $E = γ E_{0}$ :

$γ = \frac{E}{E _{0}} = \frac{1 , 822}{0 , 511} = 3, 566$

Z definicji $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$ wyznaczamy $v / c$ :

$\frac{v}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = 1 - \frac{1}{3 , 56 6 ^{2}} = 1 - 0, 0786 = 0, 9214$

$\frac{v}{c} \approx 0, 96$

Typowy błąd / pułapka

Nie wolno użyć wzoru klasycznego $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}$ . Dałby on $v / c > 1$ , co jest fizycznie niemożliwe — a to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Sygnałem, że trzeba liczyć relatywistycznie, jest to, że energia kinetyczna przewyższa energię spoczynkową ( $1, 311 > 0, 511$ ), czyli $γ > 2$ .

Energia całkowita to suma, nie różnica. $E = E_{0} + E_{kin}$ , a nie $E_{kin} - E_{0}$ . Odejmowanie daje $γ < 2$ i błędny wynik.

Jednostki się skracają. Zarówno $E$ , jak i $E_{0}$ są w MeV, a $γ$ jest bezwymiarowe — nie trzeba niczego przeliczać na dżule. To celowe uproszczenie: energie cząstek podaje się w elektronowoltach właśnie dlatego.

Dwie cyfry znaczące to warunek z polecenia. Wynik 0,9599 zaokrąglamy do 0,96, nie do 0,960 ani 1,0.

Treść zadania (CKE)

Zadanie 10 — fizyka 2026, poziom rozszerzony, arkusz CKE — Fragment arkusza CKE MFAP-R0-100-A-2605 — zadanie 10. Na podstawie: CKE, matura maj 2026, fizyka PR Oryginalny PDF CKE

Trzy energie w relatywistyce

Wielkość	Wzór	Tutaj
spoczynkowa	$E_{0} = m_{0} c^{2}$	0,511 MeV
kinetyczna	$E_{kin} = (γ - 1) E_{0}$	1,311 MeV
całkowita	$E = γ E_{0} = E_{0} + E_{kin}$	1,822 MeV

Energia spoczynkowa elektronu 0,511 MeV to jedna z liczb, które warto znać na pamięć — pojawia się w zadaniach o rozpadzie $β$ , anihilacji i produkcji par.

Od $γ$ do prędkości

$γ = \frac{1}{1 - β ^{2}}, β = \frac{v}{c}$

Przekształcamy:

$γ^{2} (1 - β^{2}) = 1 \Rightarrow β^{2} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} \Rightarrow β = 1 - γ^{- 2}$

Dlaczego klasyczny wzór zawodzi

Gdyby użyć $E_{kin} = \frac{1}{2} m_{0} v^{2}$ :

$v = \frac{2 E _{kin}}{m _{0}} = c \frac{2 E _{kin}}{E _{0}} = c \frac{2 \cdot 1 , 311}{0 , 511} = 2, 27 c$

Wynik przekracza prędkość światła — natychmiastowy sygnał, że model jest zły. Warto go sobie policzyć raz, żeby zapamiętać skalę błędu.

Kiedy trzeba liczyć relatywistycznie

Praktyczna reguła: gdy $E_{kin}$ jest porównywalna z $E_{0}$ lub większa, klasyka nie wystarcza. Tutaj stosunek wynosi 2,6 — jesteśmy głęboko w reżimie relatywistycznym, $γ = 3, 57$ .

Punktacja CKE

3 pkt — poprawna metoda i wynik ( $\approx 0, 96$ ) z zachowaniem dwóch cyfr znaczących.