Zadanie 9 — rozwiązanie, matura fizyki maj 2026, PR

Treść zadania

Elektron porusza się po okręgu w zewnętrznym jednorodnym polu magnetycznym o indukcji $B = 1, 70 mT$ . Wektor prędkości $v$ jest prostopadły do wektora indukcji $B$ . Wartość prędkości jest dużo mniejsza od prędkości światła.

Polecenie: oblicz $T$ — okres obiegu elektronu po okręgu. Zapisz obliczenia.

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

Na elektron działa siła Lorentza, która pełni funkcję siły dośrodkowej. Ponieważ $v ⊥ B$ :

$q v B = \frac{m v ^{2}}{r}$

Skracamy $v$ :

$qB = \frac{m v}{r} \Rightarrow r = \frac{m v}{qB}$

Ze związku między okresem a prędkością w ruchu jednostajnym po okręgu $v = \frac{2 π r}{T}$ :

$qB = \frac{m}{r} \cdot \frac{2 π r}{T} \Rightarrow T = \frac{2 πm}{qB}$

Podstawiamy dane:

$T = \frac{2 \cdot 3 , 142 \cdot 9 , 109 \cdot 1 0 ^{- 31} kg}{1 , 602 \cdot 1 0 ^{- 19} C \cdot 1 , 70 \cdot 1 0 ^{- 3} T}$

$T \approx 2, 10 \cdot 1 0^{- 8} s$

Typowy błąd / pułapka

Najważniejsza obserwacja: okres nie zależy od prędkości ani od promienia. Prędkość skraca się w rachunku, więc $T = \frac{2 πm}{qB}$ zależy tylko od masy, ładunku i indukcji. Uczniowie często zatrzymują się na $r = \frac{m v}{qB}$ i twierdzą, że bez $v$ nie da się policzyć okresu — a właśnie da się i to jest sedno zadania.

Nie trzeba szukać wartości prędkości w treści — jej tam nie ma i nie jest potrzebna.

Uwaga na jednostki: $B$ podano w milisteslach, więc $1, 70 mT = 1, 70 \cdot 1 0^{- 3} T$ . Podstawienie 1,70 zamiast $1, 70 \cdot 1 0^{- 3}$ zmienia wynik o trzy rzędy wielkości.

Masę i ładunek elektronu bierzemy z karty wzorów — zadanie wprost do niej odsyła.

Treść zadania (CKE)

Zadanie 9 — fizyka 2026, poziom rozszerzony, arkusz CKE — Fragment arkusza CKE MFAP-R0-100-A-2605 — zadanie 9. Na podstawie: CKE, matura maj 2026, fizyka PR Oryginalny PDF CKE

Skąd znika prędkość

$si ł a Lorentza q v B = si ł a do \overset{s}{ˊ} rodkowa \frac{m v ^{2}}{r}$

Po skróceniu $v$ zostaje $r = \frac{m v}{qB}$ — promień rośnie z prędkością. Ale okres to droga podzielona przez prędkość:

$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π}{v} \cdot \frac{m v}{qB} = \frac{2 πm}{qB}$

Szybsza cząstka zatacza proporcjonalnie większy okrąg i obiega go w tym samym czasie.

Częstość cyklotronowa

Odwrotność okresu to częstość cyklotronowa:

$f_{c} = \frac{qB}{2 πm}$

Na tej niezależności od prędkości opiera się działanie cyklotronu: napięcie przyspieszające może mieć stałą częstotliwość, bo cząstka wraca do szczeliny zawsze po tym samym czasie, mimo że jej orbita rośnie.

Zastrzeżenie w treści — „prędkość dużo mniejsza od prędkości światła” — jest istotne właśnie dlatego, że przy prędkościach relatywistycznych masa efektywna rośnie i ta niezależność przestaje obowiązywać. Stąd potrzeba synchrocyklotronów.

Dane z karty wzorów

Wielkość	Wartość
masa elektronu $m_{e}$	$9, 109 \cdot 1 0^{- 31} kg$
ładunek elementarny $e$	$1, 602 \cdot 1 0^{- 19} C$

Punktacja CKE

3 pkt — poprawna metoda i wynik z jednostką ( $\approx 2, 10 \cdot 1 0^{- 8} s$ ).
2 pkt — równanie identyfikujące siłę Lorentza jako dośrodkową oraz związek prędkości z okresem.
1 pkt — samo równanie $q v B = m a_{d}$ .