MFAP-R0-100-2605 • Otwarte rozszerzone • 7 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 5

Matura z fizyki, maj 2026, poziom rozszerzony

Wymaganie:

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych. Grawitacja i elementy astronomii: prawa Keplera, siła grawitacji jako siła centralna, zasada zachowania momentu pędu.

Treść zadania

Planetoida $R$ krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej, jedynie pod wpływem siły grawitacji Słońca. Orbita planetoidy leży w tej samej płaszczyźnie co orbita Ziemi i przecina się z nią w dwóch punktach.

Dane i założenia:

największa odległość planetoidy od środka $S$ Słońca: $r_{A} = ∣ S A ∣$ (aphelium)
najmniejsza odległość: $r_{P} = ∣ SP ∣ = 0, 81 au$ (peryhelium)
długość osi wielkiej orbity: $∣ P A ∣ = 5, 62 au$
wartość prędkości w punkcie $A$ : $v_{A}$ ; w punkcie $P$ : $v_{P} = 43, 29 km/s$
środek orbity planetoidy oznaczono jako $O$
orbitę Ziemi traktujemy jako kołową, $r_{Z} = 1, 0 au$ , $T_{Z} = 1, 00$ rok ziemski
pomijamy wpływ innych ciał niż Słońce.

5.1. (0–1) Narysuj wektor siły $F$ , z jaką Słońce działa na planetoidę w zaznaczonym położeniu na orbicie. Zachowaj kierunek, zwrot i punkt zaczepienia.

5.2. (0–2) Oblicz $T_{R}$ — okres obiegu planetoidy wokół Słońca, w latach ziemskich.

5.3. (0–1) Wartości przyśpieszenia planetoidy w punktach

P

A

oznaczono jako

a_{P}

a_{A}

. Iloraz

\frac{a _{P}}{a _{A}}

jest równy:A.

\frac{∣ S A ∣}{∣ SP ∣}

·B.

\frac{∣ SP ∣}{∣ S A ∣}

·C.

(\frac{∣ S A ∣}{∣ SP ∣})^{2}

·D.

(\frac{∣ SP ∣}{∣ S A ∣})^{2}

5.4. (0–3) Oblicz $v_{A}$ — wartość prędkości planetoidy w punkcie $A$ orbity.

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

5.1. Wektor $F$ zaczepiamy w punkcie $R$ (tam, gdzie jest planetoida) i kierujemy wzdłuż odcinka $R S$ , zwrotem do $S$ — czyli do środka Słońca. Grawitacja jest siłą centralną: zawsze wzdłuż linii łączącej oba ciała, zawsze przyciągająca. Nie jest ani styczna do orbity, ani skierowana do środka $O$ elipsy.

5.2.

Półoś wielka orbity planetoidy:

$a_{R} = \frac{∣ P A ∣}{2} = \frac{5 , 62 au}{2} = 2, 81 au$

III prawo Keplera dla planetoidy i Ziemi (wspólne centrum: Słońce):

$\frac{T _{R}^{2}}{a _{R}^{3}} = \frac{T _{Z}^{2}}{r _{Z}^{3}} \Rightarrow T_{R} = (\frac{a _{R}}{r _{Z}})^{3} \cdot T_{Z}$

$T_{R} = (\frac{2 , 81 au}{1 au})^{3} \cdot 1 rok = 22, 188 roku$

$T_{R} \approx 4, 7 roku ziemskiego$

5.3. C

Przyśpieszenie planetoidy pochodzi wyłącznie od grawitacji Słońca: $a = \frac{G M _{S}}{r ^{2}}$ . Zatem

$\frac{a _{P}}{a _{A}} = \frac{r _{A}^{2}}{r _{P}^{2}} = (\frac{∣ S A ∣}{∣ SP ∣})^{2}$

5.4.

Krok 1. Odległość aphelium. Oś wielka to suma obu skrajnych odległości od ogniska:

$∣ P A ∣ = r_{P} + r_{A} \Rightarrow r_{A} = 5, 62 au - 0, 81 au = 4, 81 au$

Krok 2. Zasada zachowania momentu pędu względem środka Słońca. W peryhelium i aphelium prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego, więc moment pędu upraszcza się do $L = m v r$ :

$m v_{P} r_{P} = m v_{A} r_{A} \Rightarrow v_{A} = v_{P} \cdot \frac{r _{P}}{r _{A}}$

Krok 3. Podstawienie.

$v_{A} = 43, 29 \frac{km}{s} \cdot \frac{0 , 81 au}{4 , 81 au} = 43, 29 \cdot 0, 16840 \frac{km}{s}$

$v_{A} \approx 7, 3 \frac{km}{s}$

Jednostki „au" skracają się — nie trzeba niczego przeliczać na metry.

Typowy błąd / pułapka

W 5.1 najczęstszy błąd to zaczepienie wektora w Słońcu. Pytanie brzmi: jaka siła działa na planetoidę — więc wektor zaczepiamy w planetoidzie. Drugi częsty błąd: skierowanie siły do środka $O$ elipsy. Ognisko elipsy (Słońce, punkt $S$ ) i środek elipsy (punkt $O$ ) to dwa różne punkty, i siła zawsze celuje w ognisko.

W 5.2 pułapka jest jedna, ale kosztowna: $∣ P A ∣ = 5, 62$ au to oś wielka, nie półoś. W III prawie Keplera występuje półoś wielka $a = ∣ P A ∣/2 = 2, 81$ au. Podstawienie 5,62 daje $T \approx 13, 3$ roku — wynik prawie trzykrotnie za duży.

Nie licz $r_{A} + r_{P}$ jako „średnicy okręgu" i nie uśredniaj prędkości. Orbita jest elipsą; jedyna wielkość, która wchodzi do III prawa Keplera, to półoś wielka.

W 5.3 kusi odpowiedź bez kwadratu (A). Grawitacja maleje z kwadratem odległości, więc iloraz przyśpieszeń jest ilorazem kwadratów odległości. Uwaga też na kolejność: $a_{P}$ dotyczy punktu bliższego, więc jest większe — iloraz $a_{P} / a_{A} > 1$ , czyli w liczniku musi być większa odległość $∣ S A ∣$ .

W 5.4 nie można użyć zasady zachowania energii „na skróty" bez wzoru na energię potencjalną grawitacji. Najprostsza droga to moment pędu: $v_{P} r_{P} = v_{A} r_{A}$ . Ta zależność działa wyłącznie w peryhelium i aphelium, bo tylko tam prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego.

Kontrola sensowności: planetoida w aphelium jest ok. 6 razy dalej i porusza się ok. 6 razy wolniej. To zgadza się z II prawem Keplera — daleko od Słońca ciało „ledwie się wlecze".

Treść zadania (CKE)

Zadanie 5 — fizyka 2026, poziom rozszerzony, arkusz CKE — Fragment arkusza CKE MFAP-R0-100-A-2605 — zadanie 5. Na podstawie: CKE, matura maj 2026, fizyka PR Oryginalny PDF CKE

Geometria elipsy — co jest czym

Oznaczenie w zadaniu	Nazwa	Wartość
$S$	ognisko elipsy — tu jest Słońce	—
$O$	środek elipsy	—
$P$	peryhelium (najbliżej Słońca)	$r_{P} = 0, 81$ au
$A$	aphelium (najdalej od Słońca)	$r_{A} = 4, 81$ au
$∥ P A ∥$	oś wielka $= 2 a$	5,62 au
$a$	półoś wielka	2,81 au

Dwie zależności, z których wynikają wszystkie obliczenia w tym zadaniu:

$r_{P} + r_{A} = 2 a, a = \frac{r _{P} + r _{A}}{2}$

Półoś wielka jest więc średnią arytmetyczną odległości peryhelium i aphelium — sprawdzenie: $(0, 81 + 4, 81) /2 = 2, 81$ ✓.

III prawo Keplera w jednostkach astronomicznych

W układzie, gdzie odległości mierzymy w au, a okresy w latach ziemskich, prawo Keplera przybiera najprostszą możliwą postać:

$T^{2} = a^{3}$

Bo dla Ziemi $T_{Z} = 1$ i $r_{Z} = 1$ , więc stała jest równa 1. Stąd natychmiast:

$T_{R} = a_{R}^{3/2} = 2, 8 1^{1, 5} \approx 4, 71$

To najszybszy sposób na to zadanie — bez $G$ , bez masy Słońca, bez przeliczania sekund.

Trzy prawa Keplera — do czego służą

Prawo	Treść	Do czego przydaje się na maturze
I	orbita jest elipsą, Słońce w jednym z ognisk	5.1 — kierunek siły; geometria orbity
II	promień wodzący zakreśla równe pola w równych czasach	równoważne zachowaniu momentu pędu → 5.4
III	$T^{2} / a^{3} = const$ dla wszystkich ciał obiegających to samo centrum	5.2 — okres obiegu

II prawo Keplera i zasada zachowania momentu pędu to to samo prawo w dwóch przebraniach. Formalnie moment pędu $L = m v r$ jest zachowany, bo siła grawitacji jest centralna — jej moment względem Słońca jest zerowy.

Prędkość w peryhelium i aphelium — wzór ogólny

Z połączenia zachowania momentu pędu i energii mechanicznej można wyprowadzić bezpośredni wzór (CKE punktuje też tę drogę):

$v_{A} = \frac{2 G M _{S}}{r _{A} + r _{P}} \cdot \frac{r _{P}}{r _{A}}$

Ale w tym zadaniu jest on niepotrzebnie długi — mamy podane $v_{P}$ , więc wystarczy jedno równanie:

$v_{P} r_{P} = v_{A} r_{A}$

Zasada ogólna: jeśli dana jest jedna z prędkości skrajnych, użyj momentu pędu; jeśli żadna, sięgnij po energię.

Punktacja CKE

5.1. 1 pkt — wektor zaczepiony w $R$ , skierowany wzdłuż $R S$ w stronę $S$ .
5.2. 2 pkt — poprawna metoda i wynik $T_{R} \approx 4, 7$ roku; 1 pkt — zapis III prawa Keplera z uwzględnieniem obu okresów i obu półosi oraz poprawne wyznaczenie $a_{R} = ∣ P A ∣/2$ .
5.3. 1 pkt — odpowiedź C.
5.4. 3 pkt — poprawna metoda i wynik $v_{A} \approx 7, 3$ km/s z jednostką; 2 pkt — równość momentów pędu w $P$ i $A$ oraz poprawne wyznaczenie $r_{A} = ∣ P A ∣ - r_{P}$ ; 1 pkt — sama równość momentów pędu albo samo poprawne wyznaczenie $r_{A} = 4, 81$ au.
Razem: 7 pkt.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „grawitacja, orbita eliptyczna, III prawo Keplera, zasada zachowania momentu pedu, peryhelium i aphelium" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl