Zadanie 7 — rozwiązanie, matura fizyki maj 2026, PR

Treść zadania

Trzy ładunki punktowe umieszczono w wierzchołkach kwadratu o boku $a$ , w próżni:

$q_{1} = + q$ — lewy dolny wierzchołek
$q_{2} = - q$ — lewy górny wierzchołek
$q_{3} = + q$ — prawy górny wierzchołek
$P$ — prawy dolny wierzchołek, bez ładunku

7.1. (0–1) Na którym rysunku (A–D) prawidłowo zaznaczono kierunek i zwrot wypadkowej siły elektrycznej działającej na ładunek $q_{3}$ ?

7.2. (0–4) Wyznacz $E_{P}$ — wartość wektora wypadkowego natężenia pola elektrycznego w punkcie $P$ — w zależności tylko od $q$ , od $a$ oraz od odpowiedniej stałej fizycznej.

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

7.1. A

7.2.

Odległości od punktu $P$ : $q_{1}$ i $q_{3}$ leżą w odległości $a$ (boki kwadratu), $q_{2}$ w odległości $a 2$ (przekątna).

Natężenia od poszczególnych ładunków:

$E_{1} = E_{3} = \frac{k q}{a ^{2}}, E_{2} = \frac{k q}{( a 2 ) ^{2}} = \frac{k q}{2 a ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{k q}{a ^{2}}$

Składanie wektorów. $E_{1}$ (od $+ q_{1}$ , skierowany od ładunku) leży poziomo, $E_{3}$ (od $+ q_{3}$ ) pionowo — są prostopadłe:

$E_{13} = E_{1}^{2} + E_{3}^{2} = 2 \cdot \frac{k q}{a ^{2}}$

Wektor $E_{13}$ leży wzdłuż przekątnej, skierowany od $q_{2}$ . Wektor $E_{2}$ (od ładunku ujemnego, skierowany do ładunku) leży na tej samej przekątnej, ale przeciwnie. Zatem odejmujemy:

$E_{P} = E_{13} - E_{2} = 2 \cdot \frac{k q}{a ^{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{k q}{a ^{2}}$

$E_{P} = \frac{k q}{a ^{2}} (2 - \frac{1}{2}) = \frac{k q}{2 a ^{2}} (22 - 1) \approx 0, 91 \frac{k q}{a ^{2}}$

Typowy błąd / pułapka

Kluczowa obserwacja: $E_{2}$ jest antyrównoległy do $E_{13}$ , więc natężenia się odejmują. Ładunek $q_{2}$ jest ujemny, więc jego pole w punkcie $P$ jest skierowane ku niemu — czyli dokładnie przeciwnie do sumy pól od dwóch dodatnich ładunków. Dodanie zamiast odjęcia daje $(2 + \frac{1}{2})$ i jest najczęstszym błędem.

Odległość do $q_{2}$ to przekątna, nie bok. W mianowniku pojawia się $(a 2)^{2} = 2 a^{2}$ , więc $E_{2}$ jest dwa razy mniejsze od $E_{1}$ , a nie $2$ razy mniejsze. Pominięcie kwadratu to typowa pomyłka.

$E_{1} ⊥ E_{3}$ , więc składamy je twierdzeniem Pitagorasa, a nie zwykłym dodawaniem. $E_{13} = 2 E_{1}$ , nie $2 E_{1}$ .

Kontrola rzędu wielkości: wynik $\approx 0, 91 k q / a^{2}$ jest nieco mniejszy od $E_{1}$ — sensowne, bo dwa pola się wzmacniają, a trzecie je częściowo znosi.

Treść zadania (CKE)

Zadanie 7 — fizyka 2026, poziom rozszerzony, arkusz CKE — Fragment arkusza CKE MFAP-R0-100-A-2605 — zadanie 7. Na podstawie: CKE, matura maj 2026, fizyka PR Oryginalny PDF CKE

Zasada superpozycji

Natężenie pola od układu ładunków to wektorowa suma natężeń od każdego z osobna:

$E_{P} = E_{1} + E_{2} + E_{3}$

Zwrot pola od pojedynczego ładunku:

ładunek dodatni → pole skierowane od ładunku,
ładunek ujemny → pole skierowane do ładunku.

Rachunek składowych — kontrola wyniku

Przyjmijmy $P = (a, 0)$ , $q_{1} = (0, 0)$ , $q_{2} = (0, a)$ , $q_{3} = (a, a)$ , w jednostkach $k q / a^{2}$ :

Źródło	$r$	$E$	$E_{x}$	$E_{y}$
$q_{1} = + q$	$a$	1	$+ 1$	$0$
$q_{2} = - q$	$a 2$	$\frac{1}{2}$	$- 0, 354$	$+ 0, 354$
$q_{3} = + q$	$a$	1	$0$	$- 1$
suma			$+ 0, 646$	$- 0, 646$

$E_{P} = 0, 64 6^{2} + 0, 64 6^{2} = 0, 914 = 2 - \frac{1}{2} ✓$

Rozkład na składowe jest dłuższy niż rozumowanie geometryczne, ale nie wymaga zauważenia, że wektory leżą na jednej prostej — warto go znać jako metodę awaryjną.

Dlaczego $E_{2}$ leży na tej samej prostej co $E_{13}$

$E_{1}$ i $E_{3}$ mają równe wartości i są prostopadłe, więc ich suma leży na dwusiecznej kąta prostego — czyli wzdłuż przekątnej $q_{2} P$ . Ta sama przekątna wyznacza kierunek $E_{2}$ . Bez równości $E_{1} = E_{3}$ ta zgodność by nie zachodziła i trzeba by liczyć składowymi.

Stała w prawie Coulomba

$k = \frac{1}{4 π ε _{0}} \approx 8, 99 \cdot 1 0^{9} \frac{N \cdot m ^{2}}{C ^{2}}$

CKE akceptuje zapis zarówno przez $k$ , jak i przez $\frac{1}{4 π ε _{0}}$ .

Punktacja CKE

7.1. 1 pkt — odpowiedź A.
7.2. 4 pkt — punktowane składnikowo: poprawne wyznaczenie $E_{1}$ , $E_{2}$ , $E_{3}$ , zauważenie równości $E_{1} = E_{3}$ , złożenie $E_{13} = 2 E_{1}$ oraz odjęcie $E_{2}$ .
Razem: 5 pkt.