MFAP-R0-100-2605 • Otwarte rozszerzone • 6 pkt • Trudność: ★★★★★

Zadanie 6

Matura z fizyki, maj 2026, poziom rozszerzony

Wymaganie:

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych. Termodynamika: równanie Clapeyrona, I zasada termodynamiki, energia wewnętrzna gazu doskonałego, praca gazu jako pole pod wykresem p(V).

Treść zadania

Na wykresie przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od objętości $V$ dla przemiany termodynamicznej $A \to B$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Założenia:

ciepło molowe gazu przy stałej objętości: $C_{V} = \frac{3}{2} R$
stany $A$ i $B$ leżą w punktach kratowych siatki wykresu: $A = (10 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}; 2 \cdot 1 0^{4} Pa)$ , $B = (25 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}; 5 \cdot 1 0^{4} Pa)$
odcinek $A B$ jest odcinkiem prostym (przedłużenie prostej przechodzi przez początek układu).

6.1. (0–1) Oceń prawdziwość stwierdzeń (P/F):

W przemianie $A \to B$ temperatura bezwzględna $T$ gazu zmienia się wprost proporcjonalnie do kwadratu objętości tego gazu.
W przemianie $A \to B$ średnia wartość prędkości cząsteczek gazu wzrasta.

6.2. (0–1) Iloraz temperatur bezwzględnych gazu w stanach $B$ i $A$ jest równy $\frac{T _{B}}{T _{A}} = \dots$

6.3. (0–4) Oblicz $Q_{A B}$ — ciepło pobrane przez gaz w przemianie $A \to B$ .

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

6.1. PP

Stwierdzenie 1 — prawda. Odcinek $A B$ leży na prostej przechodzącej przez początek układu, więc $p = kV$ . Z równania Clapeyrona $p V = n RT$ :

$T = \frac{p V}{n R} = \frac{kV \cdot V}{n R} = \frac{k}{n R} V^{2} \Rightarrow T \propto V^{2}$

Stwierdzenie 2 — prawda. Objętość rośnie, więc rośnie też $T$ . Średnia prędkość cząsteczek jest związana z temperaturą wzorem $v_{\overset{s}{ˊ} r} \propto T$ — rosnąca temperatura oznacza rosnącą średnią prędkość.

6.2.

Z równania Clapeyrona dla obu stanów ( $n$ i $R$ te same):

$\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{p _{B} V _{B}}{p _{A} V _{A}} = \frac{5 \cdot 1 0 ^{4} Pa \cdot 25 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3}}{2 \cdot 1 0 ^{4} Pa \cdot 10 \cdot 1 0 ^{- 3} m ^{3}} = \frac{1250 J}{200 J}$

$\frac{T _{B}}{T _{A}} = 6, 25 = \frac{25}{4}$

Kontrola: $T \propto V^{2}$ , a $V_{B} / V_{A} = 2, 5$ , więc iloraz temperatur to $2, 5^{2} = 6, 25$ ✓.

6.3.

Krok 1. I zasada termodynamiki. Gaz pobiera ciepło, jego energia wewnętrzna rośnie, a gaz wykonuje pracę nad otoczeniem (rozpręża się):

$Q_{A B} = Δ U_{A B} + W_{A B}$

Krok 2. Zmiana energii wewnętrznej. Dla gazu jednoatomowego ( $C_{V} = \frac{3}{2} R$ ):

$U = n C_{V} T = \frac{3}{2} n RT = \frac{3}{2} p V$

$Δ U_{A B} = \frac{3}{2} (p_{B} V_{B} - p_{A} V_{A}) = \frac{3}{2} (1250 - 200) J = \frac{3}{2} \cdot 1050 J = 1575 J$

Krok 3. Praca gazu = pole pod wykresem $p (V)$ . Figura jest trapezem o podstawach $p_{A}$ , $p_{B}$ i wysokości $V_{B} - V_{A}$ :

$W_{A B} = \frac{1}{2} (p_{A} + p_{B}) (V_{B} - V_{A}) = \frac{1}{2} (7 \cdot 1 0^{4} Pa) (15 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}) = 525 J$

Krok 4. Suma.

$Q_{A B} = 1575 J + 525 J = 2100 J$

Typowy błąd / pułapka

W 6.1 pierwsze stwierdzenie odrzuca się odruchowo — i to błąd. „Wprost proporcjonalnie do kwadratu objętości" brzmi dziwnie, bo w typowych przemianach $T \propto V$ (izobaryczna) albo $T \propto p$ (izochoryczna). Ale tutaj jednocześnie rośnie $p$ i $V$ , i to liniowo, więc iloczyn $p V$ rośnie kwadratowo. Kluczowa obserwacja: prosta $A B$ przedłużona przechodzi przez początek układu — bez tego $p$ nie byłoby proporcjonalne do $V$ .

W 6.3 najczęstszy błąd to policzenie samego $Δ U$ i podanie go jako ciepła. Ciepło pobrane to $Δ U + W$ — gaz się rozpręża, więc część pobranego ciepła idzie na pracę, nie na ogrzanie.

Drugi częsty błąd: praca liczona jako $p Δ V$ . Ten wzór działa tylko dla przemiany izobarycznej. Tutaj ciśnienie się zmienia, więc pracą jest pole pod wykresem — trapez, nie prostokąt. Wzięcie $p_{A} Δ V = 300$ J albo $p_{B} Δ V = 750$ J zamiast 525 J psuje wynik końcowy.

Uwaga na jednostki i mnożniki. Oś $p$ jest w $1 0^{4}$ Pa, oś $V$ w $1 0^{- 3}$ m³. Iloczyn $p V$ ma wtedy rząd $1 0^{4} \cdot 1 0^{- 3} = 10$ J na kratkę — łatwo zgubić rząd wielkości. Pomocna kontrola: $p_{A} V_{A} = 200$ J to sensowna energia dla ~20 litrów gazu pod ciśnieniem 0,2 atm.

$C_{V} = \frac{3}{2} R$ oznacza gaz jednoatomowy. Dla dwuatomowego byłoby $\frac{5}{2} R$ i cały wynik by się zmienił. Ta informacja jest w treści właśnie po to, żeby jej użyć.

Treść zadania (CKE)

Zadanie 6 — fizyka 2026, poziom rozszerzony, arkusz CKE — Fragment arkusza CKE MFAP-R0-100-A-2605 — zadanie 6. Na podstawie: CKE, matura maj 2026, fizyka PR Oryginalny PDF CKE

Odczyt z wykresu — od tego wszystko zależy

Stan	$V$	$p$	$p V$
$A$	$10 \cdot 1 0^{- 3}$ m³	$2 \cdot 1 0^{4}$ Pa	200 J
$B$	$25 \cdot 1 0^{- 3}$ m³	$5 \cdot 1 0^{4}$ Pa	1250 J

Iloczyn $p V$ ma wymiar energii ( $Pa \cdot m^{3} = J$ ) i to on jest w tym zadaniu walutą wszystkich obliczeń — zarówno temperatury ( $p V = n RT$ ), jak i energii wewnętrznej ( $U = \frac{3}{2} p V$ ).

Sprawdzenie proporcjonalności: $\frac{2 \cdot 1 0 ^{4}}{10 \cdot 1 0 ^{- 3}} = \frac{5 \cdot 1 0 ^{4}}{25 \cdot 1 0 ^{- 3}} = 2 \cdot 1 0^{6} Pa/m^{3}$ — obie pary dają tę samą stałą $k$ , więc prosta rzeczywiście przechodzi przez początek układu.

Energia wewnętrzna wyrażona przez $p$ i $V$ — skrót wart zapamiętania

$U = n C_{V} T oraz n RT = p V \Rightarrow U = \frac{C _{V}}{R} p V$

Rodzaj gazu	$C_{V}$	$U$
jednoatomowy (He, Ar)	$\frac{3}{2} R$	$\frac{3}{2} p V$
dwuatomowy (N₂, O₂)	$\frac{5}{2} R$	$\frac{5}{2} p V$

Dzięki temu nie trzeba znać ani $n$ , ani $T$ — wystarczą odczytane z wykresu $p$ i $V$ . To najkrótsza droga przez zadanie 6.3 i to właśnie warunek ΔU2 w kluczu CKE.

Praca gazu to zawsze pole pod wykresem $p (V)$

Przemiana	Kształt na wykresie $p (V)$	Praca
izobaryczna	odcinek poziomy	$W = p Δ V$ (prostokąt)
izochoryczna	odcinek pionowy	$W = 0$
liniowa $p \propto V$ (tu)	odcinek ukośny	$W = \frac{1}{2} (p_{1} + p_{2}) Δ V$ (trapez)
izotermiczna	hiperbola	pole pod hiperbolą (poza zakresem matury)

Znak: gaz rozprężający się ( $Δ V > 0$ ) wykonuje pracę nad otoczeniem, więc w bilansie $Q = Δ U + W$ praca wchodzi z plusem po stronie „wydatków” gazu.

Bilans energii w tej przemianie

$Q_{A B} = ogrzanie gazu 1575 J + praca rozpr ę \overset{z}{˙} ania 525 J = 2100 J$

Trzy czwarte pobranego ciepła idzie na wzrost energii wewnętrznej, jedna czwarta na pracę. To typowa proporcja dla gazu jednoatomowego przy tak stromym wzroście ciśnienia.

Punktacja CKE

6.1. 1 pkt — PP (oba stwierdzenia prawdziwe; odpowiedź niepełna = 0 pkt).
6.2. 1 pkt — wartość $6, 25$ (albo $\frac{25}{4}$ ).
6.3. 4 pkt — poprawna metoda i wynik $Q_{A B} = 2100$ J z jednostką; 3 pkt — I zasada termodynamiki oraz poprawna praca oraz $Δ U$ wyrażone przez $p$ i $V$ (albo przez $Δ T$ z równań Clapeyrona); 2 pkt — dwa z tych elementów; 1 pkt — jeden (sama I zasada, sam wzór na $Δ U$ albo sama praca). CKE punktuje też rozwiązanie przez rozbicie przemiany na cykl izochoryczno-izobaryczny.
Razem: 6 pkt.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „termodynamika, gaz doskonaly, I zasada termodynamiki, praca gazu, energia wewnetrzna, rownanie Clapeyrona" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl