MFAP-R0-100-2605 • Otwarte rozszerzone • 7 pkt • Trudność: ★★★★☆

Zadanie 2

Matura z fizyki, maj 2026, poziom rozszerzony

Wymaganie:

II. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem praw i zależności fizycznych. Ruch po okręgu: siła dośrodkowa, prędkość styczna do toru. Zasada zachowania energii mechanicznej.

Treść zadania

Do jednego z końców nierozciągliwej nici o długości $l$ zamocowano niewielkie ciało $B$ o masie $m$ . Drugi koniec nici jest unieruchomiony w punkcie $S$ . Ciało $B$ wprawiono w ruch po okręgu o środku $S$ w płaszczyźnie pionowej.

Model zjawiska: na ciało działają tylko siła grawitacji $F_{g}$ i siła reakcji nici $F_{N}$ ; opory ruchu i masę nici pomijamy; $B$ traktujemy jak punkt materialny w inercjalnym układzie odniesienia, w jednorodnym polu grawitacyjnym.

2.1. (0–2) Na rysunku przedstawiono wektory prędkości ciała $B$ w dwóch różnych chwilach. Długość boku kratki odpowiada umownej jednostce odległości. Wyznacz konstrukcyjnie środek okręgu i podpisz go $S$ . Zapisz długość $R$ promienia tego okręgu w umownych jednostkach. (Uwaga: środek $S$ leży w punkcie kratowym.)

2.2. (0–1) Na którym rysunku (A–D) prawidłowo przedstawiono siły $F_{g}$ oraz $F_{N}$ działające na ciało $B$ , gdy przechodzi ono przez najniższe położenie?

2.3. (0–4) Dany jest iloraz największej i najmniejszej wartości prędkości ciała podczas ruchu po okręgu: $\frac{v _{max}}{v _{min}} = 3$ . Oblicz iloraz $\frac{F _{N max}}{F _{N min}}$ .

Źródło: arkusz CKE MFAP-R0-100-2605. Otwórz oryginalny PDF

Rozwiązanie

2.1. Konstrukcja opiera się na tym, że prędkość w ruchu po okręgu jest zawsze styczna do toru, a promień jest do stycznej prostopadły. Wystarczy więc z punktu zaczepienia każdego wektora poprowadzić prostą prostopadłą do tego wektora — obie proste przecinają się w środku okręgu.

Punkt przecięcia zaznaczamy jako $S$ i odmierzamy jego odległość od początku dowolnego z wektorów:

$R = 10 d ł ugo \overset{s}{ˊ} ci boku kratki$

2.2. B

W najniższym położeniu siła grawitacji jest skierowana w dół, a nić ciągnie ciało w górę, do środka okręgu. Wypadkowa musi być dośrodkowa, czyli skierowana w górę — a więc $F_{N} > F_{g}$ .

2.3.

Krok 1. Dynamika w skrajnych położeniach. Siła reakcji nici jest zawsze skierowana wzdłuż nici, do środka. Wypadkowa pełni rolę siły dośrodkowej:

najniższe położenie (tam $v = v_{max}$ ): $\frac{m v _{max}^{2}}{l} = F_{N max} - m g$
najwyższe położenie (tam $v = v_{min}$ ): $\frac{m v _{min}^{2}}{l} = F_{N min} + m g$

Krok 2. Zasada zachowania energii między najniższym a najwyższym punktem (różnica wysokości $= 2 l$ ):

$\frac{m v _{max}^{2}}{2} = \frac{m v _{min}^{2}}{2} + m g \cdot 2 l \Rightarrow v_{max}^{2} = v_{min}^{2} + 4 g l$

Krok 3. Wykorzystanie danego ilorazu. Z $v_{max} = 3 v_{min}$ mamy $v_{max}^{2} = 3 v_{min}^{2}$ :

$3 v_{min}^{2} = v_{min}^{2} + 4 g l \Rightarrow v_{min}^{2} = 2 g l, v_{max}^{2} = 6 g l$

Krok 4. Podstawienie.

$F_{N max} = \frac{m \cdot 6 g l}{l} + m g = 7 m g, F_{N min} = \frac{m \cdot 2 g l}{l} - m g = m g$

$\frac{F _{N max}}{F _{N min}} = \frac{7 m g}{m g} = 7$

Typowy błąd / pułapka

W 2.1 najczęstszy błąd to rysowanie prostopadłych do wektorów „gdziekolwiek". Prostopadła musi przechodzić przez punkt zaczepienia wektora — bo to właśnie tam ciało w danej chwili się znajduje i tam promień jest prostopadły do prędkości. Alternatywna, równie punktowana konstrukcja: symetralna odcinka łączącego początki obu wektorów plus jedna prostopadła.

W 2.2 kusi odpowiedź, że siły się równoważą ( $F_{N} = F_{g}$ , warianty C i D). Równoważyłyby się, gdyby ciało poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Tu tor jest okręgiem, więc wypadkowa nigdy nie jest zerowa — zawsze jest dośrodkowa. W najniższym punkcie „do środka" znaczy „w górę", więc $F_{N}$ musi przeważać.

W 2.3 uwaga na znaki. W najniższym położeniu grawitacja działa przeciwnie do siły dośrodkowej (odejmujemy ją), w najwyższym — zgodnie z nią (dodajemy). Zamiana tych znaków miejscami to najkosztowniejsza pomyłka w tym zadaniu.

Różnica wysokości między skrajnymi punktami to $2 l$ , nie $l$ . Ciało przechodzi przez całą średnicę okręgu.

Kontrola sensowności wyniku: $F_{N min} = m g > 0$ , czyli nić na górze jest jeszcze napięta. Gdyby wyszło $F_{N min} \leq 0$ , oznaczałoby to, że ciało nie pokonałoby górnego punktu, poruszając się po okręgu.

Treść zadania (CKE)

Zadanie 2 — fizyka 2026, poziom rozszerzony, arkusz CKE — Fragment arkusza CKE MFAP-R0-100-A-2605 — zadanie 2. Na podstawie: CKE, matura maj 2026, fizyka PR Oryginalny PDF CKE

Konstrukcja środka okręgu — jedna zasada, dwie linie

Cała geometria w 2.1 opiera się na jednym fakcie:

W ruchu po okręgu wektor prędkości jest styczny do toru, a promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

Stąd przepis:

Zaznacz punkt zaczepienia wektora $v_{1}$ i poprowadź przez niego prostą prostopadłą do $v_{1}$ .
To samo dla $v_{2}$ .
Przecięcie obu prostych to środek $S$ .
Odległość $S$ od punktu zaczepienia dowolnego wektora to promień $R$ — tutaj 10 boków kratki.

Metoda alternatywna (CKE punktuje ją tak samo): oba punkty zaczepienia leżą na okręgu, więc środek leży na symetralnej odcinka je łączącego. Symetralna plus jedna prostopadła do wektora dają ten sam punkt.

Skrajne wartości siły reakcji nici

Położenie	Prędkość	Zwrot $F_{g}$ względem środka	Równanie	Wynik
najniższe	$v_{max}$	od środka (w dół)	$\frac{m v _{max}^{2}}{l} = F_{N} - m g$	$F_{N max} = 7 m g$
najwyższe	$v_{min}$	do środka (w dół)	$\frac{m v _{min}^{2}}{l} = F_{N} + m g$	$F_{N min} = m g$

W obu przypadkach siła dośrodkowa jest wypadkową, a nie osobną siłą. To nie jest trzecia siła w układzie — to nazwa roli, jaką pełni suma $F_{g} + F_{N}$ .

Warunek przejścia przez górny punkt

Zadanie nie pyta o to wprost, ale warto znać tę granicę. Nić pozostaje napięta, dopóki $F_{N min} \geq 0$ :

$\frac{m v _{min}^{2}}{l} \geq m g \Rightarrow v_{min}^{2} \geq g l \Rightarrow v_{min} \geq g l$

W tym zadaniu $v_{min}^{2} = 2 g l$ , czyli dwukrotnie powyżej minimum — ciało pewnie pokonuje górny punkt. W przypadku granicznym $v_{min}^{2} = g l$ zasada zachowania energii dałaby $v_{max}^{2} = 5 g l$ , a więc $v_{max} / v_{min} = 5$ oraz $F_{N max} / F_{N min} \to \infty$ , bo mianownik dąży do zera.

Punktacja CKE

2.1. 2 pkt — poprawna konstrukcja i wartość $R = 10$ ; 1 pkt — poprawna co do zasady metoda konstrukcji (prostopadłe do wektorów prędkości albo symetralna + prostopadła) albo poprawne oznaczenie $S$ bez konstrukcji wraz z prawidłowym $R$ .
2.2. 1 pkt — odpowiedź B.
2.3. 4 pkt — poprawna metoda i wynik $= 7$ ; 3 pkt — związki dynamiczne w obu skrajnych położeniach ze wzorami na siłę dośrodkową oraz ZZE z wyprowadzeniem $v_{min} = 2 g l$ albo $v_{max} = 6 g l$ ; 2 pkt — oba równania dynamiki ze wzorami albo samo ZZE z wykorzystaniem związku $3$ ; 1 pkt — jeden ze związków (dolne położenie, górne położenie albo ZZE).
Razem: 7 pkt.

Rozumiesz, jak to rozwiązać?

Przećwicz podobne typy zadań w aplikacji

matury-online.pl ma tysiące zadań pogrupowanych po dziedzinach. Sprawdź, czy temat „ruch po okregu w plaszczyznie pionowej, sila dosrodkowa, zasada zachowania energii, konstrukcja geometryczna" zrobisz samodzielnie.

Otwórz matury-online.pl